Was passiert mit dem Ball in höheren Dimensionen?
In X := Rn sei λn das Lebesgue-Maß auf der Borelschen σ-Algebra. Es geht es um den Einheitsball Bn := {x ∈ X : ||x|| < 1} um 0 bzw. seinem Abschluss mit der ,,kleiner-gleich‘‘ Relation. (Beim Lebesgue-Maß sind Abschluss und Inneres gleich, denn die Einheitsspähre, welche beide differenziert, ist eine (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von X und somit eine λn -Nullmenge)
Dann sei (V_n) die Folge der n-dimensionalen Volumina von Bn. Also V_n := λn(Bn).
Diese ist gegeben als eine reelle Nullfolge (wie genau die Folge aussieht ist für die Frage jetzt egal).
Mathematisch kann man also zeigen, dass V_n —> 0 für n —> unendlich. In Worten heißt das, dass der Ball im Unendlichdimensionalen eine Nullmenge und somit fast nicht present ist. Er verschwindet also quasi. Jedoch macht es für mich intuitiv gar kein Sinn und ich kann mir es auch nicht ansatzweise vorstellen. Kann mir das jemand geometrisch erklären?
2 Antworten
Mit steigender Dimension nimmt das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen stets zu
Analoge Vorstellung mit Hilfe von 2D und 3D:
2D:
Der Ball ist ein Kreis .
Das Volumen ist die Fläche: pi
Der Rand ist der Kreisumfang: 2pi
Das Verhältnis von Umfang zu Fläche ist 2
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3D:
Der Ball ist eine Kugel .
Das Volumen ist 4pi/3
Die Oberfläche (Rand) ist 4pi
Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen ist 3
In jeder zusätzlichen Dimension wächst das Verhältniss O/V
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Stell dir vor, du hast eine Kugel mit einem Radius von 2 cm. Wenn du eine kleinere Kugel mit einem Radius von 1 cm innerhalb der größeren Kugel platzierst, dann ist das Volumen der inneren Kugel (mit 1 cm Radius) viel kleiner als das Volumen der Hohlkugel, die den Raum zwischen der inneren und der äußeren Kugel ausfüllt.
Die Hohlkugel (der Bereich zwischen den beiden Kugeln) hat fast das gesamte Volumen, während das Volumen im Inneren der Kugel (der Bereich innerhalb der 1 cm Kugel) im Vergleich sehr klein ist.
Wenn du nun die Dimensionen erhöhst, passiert Folgendes: Das Volumen im „Inneren“ der Kugel wird immer kleiner, und fast alles Volumen konzentriert sich immer mehr in der Nähe der Oberfläche
Das bedeutet, dass mit zunehmender Dimension der „Rand“ des Balls eine immer größere Rolle spielt und praktisch das gesamte Volumen des Balls befindet sich in der Nähe der Oberfläche.
Da das Volumen immer mehr Richtung Oberfläche drängt, bleibt für das Innere praktisch nichts mehr übrig. Der Ball „verliert“ sein Volumen und wird zu einer Hülle, die in der Unendlichdimensionalität verschwindet.
In unendlich vielen Dimensionen wird die Oberfläche der Kugel zu einer Nullmenge im Lebesgue-Maß.
Du hast Recht - das, was Du beschreibst, ist sehr unintuitiv. Allerdings kann man nicht von einer Nullmenge sprechen, da es den R^Unendlich nicht gibt…
Man kann sich das Phänomen des gegen 0 strebenden Verhältnisses zwischen der Oberfläche und dem Volumen einer n-dimensionalen Kugel jedoch mit dem Satz von Stokes erklären. Um das Volumen einer n-dimensionalen Kugel zu erhalten, integriert man über die Oberfläche der Kugel. Beim Integrieren „rutscht“ die Raumdimension n in den Nenner, so wie die Funktion x -> x^(n-1) integriert 1/n x^n ergibt. Die integrierte Funktion 1/n x^n bzw. das Verhältnis (1/n x^n / x^(n-1)) = 1/n x konvergieren dann ebenfalls punktweise gegen 0 für n -> Unendlich…