Was ist so toll an diagonalisierbaren Matrizen?
was ist der Vorteil von diagonalisierbaren Matrizen was lässt sich damit einfacher rechnen?
2 Antworten
Sei A Diagonalsierbar, es gibt also eine Matrix S und eine Diagonalmatrix D sodass A=S^-1DS gilt.
Wenn du eine hohe Potenz einer Matrix bestimmen möchtest (z.b A^100), so kannst du das nutzen um es sehr zu vereinfachen, denn SS^-1=Id.
Somit bekommst du A^100=S^-1D^100S, was du viel einfacher bestimmen kannst, da du bei Diagonalmatrizen die Potenzen sehr einfach bestimmen kannst, indem du jedes Diagonalelement Potenzierst.
Es gibt auch etwas, das nennt sich Spektralwertzerlegung (Wofür die Eigenwert Zerlegung benötigt wird), die man auf allgemeine Matrizen anwendet die nicht unbedingt quadratisch sein müssen. Diese Zerlegung ist dann zum Beispiel für die Statistik wichtig, oder man verwendet es um LGS leichter zu lösen.
Diagonalisierbare Matrizen haben viele Vorteile:
- sie sind hermitesch --> große Anwendung in der Quantenmechanik
- zum Lösen eines LGS
- sie sind Invertierbar
- ...
Eine Lineare Abbildung, die sich durch eine diagonalisierbare Matrix darstellen lässt, ist bijektiv.
Achso okay danke das hat mein Prof auch gesagt aber versteh das nicht muss es wohl noch bisschen studieren ^^
Hermitische Matrizen sind Diagonalsierbar, aber nicht jede Diagonalsierbar Matrix ist Invertierbar.
0 -1
1 0
Ist zum Beispiel nicht hermitisch, ist jedoch nicht Invertierbar, da die Eigenwerte i und -i sind.
Und nicht jede Diagonalsierbare Matrix ist Invertierbar, da Diagonalsierbare Matrizen auch die 0 also Eigenwert haben können (die Nullmatrix ist zum Beispiel Diagonalsierbar aber nicht Invertierbar)
haben sie etwas mit Bijektionen zu tun?