Matrix diagonalisieren?
Hallo.
Könnte mir jemand kurz erklären, wie man erkennt, ob eine Matrix diagonalisierbar ist und wie man sie, sofern sie diagonalisierbar ist, diagonalisiert?
2 Antworten
Es ist ne Matrix der Form
x 0 0 0
0 x 0 0
0 0 x 0
0 0 0 x
Also überall 0er außer in der Diagonalen ^^
Und wann geht das? Wenn das LGS eindeutig lösbar ist. D.h. das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren. Also bestimmst du entweder die Eigenwerte oder bringst das LGS halt in die richtige Form
Die Welt wäre schön, wenn man das immer so schnell einfach erkennen könnte. Kann man aber nicht. Es gibt verschiedene Dinge, an denen man erkennen kann, ob eine Matrix diagonalisierbar ist - zum Beispiel ist eine Matrix der Dimension n diagonalisierbar, wenn
- es eine Basis aus Eigenwerten gibt,
- es genau n verschiedene Eigenwerte gibt,
- das charakteristische Polynom in n verschiedene Linearfaktoren zerfällt,
- das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und die algebraischen Vielfachheiten den geometrischen Vielfachheiten entsprechen,
- die (direkte) Summe der Eigenräume dem entsprechenden Raum entspricht,
- es eine Basis gibt, bezüglich der die Darstellungsmatrix Diagonalform hat,
- sie hermitesch, normal, unitär oder orthogonal ist,
- ...
Mit anderen Worten: Es gibt viele hinreichende Kriterien (die aber im Übrigen nicht alle notwendig sind). Wie man zeigt, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, hängt dann von der konkreten Matrix ab. Bei der einen ist das eine, bei der anderen das andere Kriterium leichter nachzuprüfen.
Weiß man dann, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, gibt es wieder viele verschiedene Möglichkeiten, die entsprechende Diagonalmatrix zu bestimmen. Am einfachsten berechnet man aber sofort die Eigenwerte - das sind dann genau die Diagonaleinträge, die Reihenfolge spielt bis auf Isomorphie keine Rolle.
Dafür ist es aber von Bedeutung, vorher schon festgestellt zu haben, dass die Matrix diagonalisierbar ist, denn auch wenn es n Eigenwerte gibt, heißt das nicht sofort, dass die entsprechende Diagonalmatrix die mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist (nur wenn die Eigenwerte auch noch alle verschieden sind, kann man das sofort schließen).
LG