Was ist der Unterschied zwischen errechnen , berechnen und rechnen?

Der Unterschied liegt im Aspekt: Rechnen betont die Handlung, ist also ein imperfek­ti­ves Verb. Die ganzen Vorsilben, die es im Deutschen gibt, wirken alle perfekti­vie­rend, le­gen also (in oft verschiedener Weise) das Augenmerk auf das Resultat der Handlung.

Man kann also stundenlang rechnen, und selbst dann ist es nicht sicher, ob man ein Resultat hat. Wenn man aber etwas berechnet, dann muß es ein Resultat geben (und die Dauer der Handlung gerät in den Hintergrund). Errechnen habe ich selten gehört, und wenn dann reflexiv (er hat sich das selbst errechnet), und da schwingt noch die Idee von dauerhaftem Erfolg mit, das Ergebnis ist also garantiert richtig und nütz­lich, während man berechnen auch bei einem falschen Ergebnis landen kann oder einem, das man nicht weiterverwenden kann.

Gefühlt würde ich rechnen am ehesten für eine Tätigkeit von einer gewissen Dauer verwenden. Berechnen für eine bestimmte Aufgabe und errechnen für ein bestimmtes Ziel. Das ist jedoch alles "weich".

Und was ist mit "ausrechnen"?

Neben dem synonymen Bedeutungen von "errechnen" und "berechnen" (nämlich ein Ergebnis auszurechnen), kann "berechnen" auch noch im Sinne von "etwas in Rechnung stellen" verwendet werden.

Rechnen ist einfach ein Verb, das den Vorgang des Verbindens von Zahlengrößen aufgrund mathematischer Vorschriften beschreibt.

Rechnen kann aber auch bedeuten, etwas in seine Überlegungen einzubeziehen ("Rechnet damit, dass...").

Errechnen und berechnen sind in etwas gleich. Mir fällt jedenfalls kein Unterschied ein.

Rechnen ist der allgemeine Vorgang. Jemand rechnet. Das ist ungebunden von einem Ziel. Beim Berechnen wird etwas berechnet.