Was genau bedeutet das Integralzeichen?
Ich verstehe zwar, wie die Integralrechnung funktioniert, dennoch würde es mich mal interessieren, was das Integralzeichen mathematisch bedeutet oder ob es nur Notation ist Danke im vorraus :)
4 Antworten
Das Integralzeichen "S" (verzerrtes S) ist der "mathematische Befehl" zur Aufsummierung unendlich vieler Teilflächen dA zu einer Gesamtfläche A.
dA=y*dx=f(x)*dx integriert ergibt Integral dA=Integral f(x)*dx ergibt
A=Integral (f(x)*dx
Das Zeichen ∫ ist ein langgezogenes "S" und wurde von wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz, einem der Begründer der Integralrechnung, im 17. Jahrhundert eingeführt. Man kann die Schreibweise sehr leicht anschaulich verstehen. Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals einer Funktion f über einem reellen Intervall [a;b] geht es geometrisch gesehen um die Berechnung des Flächeninhalts jenes Flächenstücks, das zwischen der Funktionskurve und der x-Achse und zwischen den beiden vertikalen Geraden x=a und x=b eingeschlossen ist. (Nehmen wir mal an, dass im gesamten Intervall f(x)>0 sei). Dieses Flächenstück kann man sich (etwas naiv beschrieben) in sehr viele sehr dünne Streifen "Striche" parallel zur y-Achse unterteilt vorstellen. Die "Dicke" eines solchen Strichs sei mit dx bezeichnet. Der Strich an der Stelle x hat einen Flächeninhalt, den man als Rechtecksflächeninhalt Höhe * Breite = y * dx = f(x) * dx angeben kann. Wenn man nun alle (sehr vielen) solchen "Strichflächeninhalte" addiert bzw. eben ∫ummiert , kommt man (wenigstens zu einem gewissen Näherungswert für) das gesuchte bestimmte Integral. Die Schreibweise
∫ f(x) dx (mit den Angaben der Grenzen a und b)
kann man sich also sehr gut durch dieses einfache geometrische Bild der Summation von "Strichflächeninhalten" merken !
Für alle, die Mathe studiert haben und dies lesen, muss natürlich bemerkt werden, dass diese naive Betrachtungsweise in der Zeit nach Leibniz durch die Arbeit vieler weiterer Mathematiker verfeinert und logisch untermauert werden musste. Die dazu notwendigen Überlegungen mit Grenzwertrechnungen waren aber im Kern auch Leibniz schon bewusst.
Es ist nur Notation.
Es kommt vom Summenzeichen. Ein Integral ist der Grenzwert einer (Riemann-)Summe, genau wie die Ableitung der Grenzwert des Differenzenquotienten ist, weshalb man letztere auch als d/dx (oder ähnliches) schreibt.
Es ist "nur Notation" - aber eine sehr intuitiv gestaltete, und deshalb eine "gute" Bezeichnungsweise. Das Symbol ist aber keineswegs vom (mit einem griechischen Sigma geschriebenen) Summensymbol abgeleitet. Leibniz benützte ein (lateinisches oder deutsches) S .
Das Riemannintegral bedeutet, dass du den Grenzwert von Ober- bzw. Untersumme über einen gewissen Bereich betrachtest, wobei die Intervallbreite gegen 0 geht bla bla... Habt ihr sicher gelernt.