Was bedeutet das “d“ bei dx und d/dx?
Ich weiß dass das “Differential“ heißt aber was zur Hölle ist das und wie kann man sich hiermit die Notationen dx d/dx usw. logisch herleiten?
LG Alex
7 Antworten
Das d steht für Delta. Wenn man es so schreibt d/dx dann meint man damit den Differentialoperator.
Das Delta in d/dx bedeutet ein infinitesimal kleinen Abstand.
Das d/dx macht alleine keinen Sinn (weil man ja nicht weiß was im Zähler infinitesimal klein sein soll.), also wendet man diesen Operator immer auf etwas an z.B. einen Funktion f:
d/dx(f(x)) = d(f(x))/dx
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x wird definiert als Limes (Delta y / Delta x ) , wobei Delta y = f ( x + Delta x) für Delta x gegen 0 .
Bevor der Begriff des Limes eingeführt wurde, dachte man sich, dass man die Differenz Delta x nur "unendlich klein" machen müsse und dann einen ganz gewöhnlichen Quotienten habe. Diese "unendlich kleinen" Differenzen bezeichnete Leibniz (einer der Entwickler der Differentialrechnung) mit dx und dy und nannte sie Differentiale. Seine Schreibweise hat sich erhalten, weil sie für viele Anwendungen nach wie vor sehr hilfreich ist und der Intuition entgegenkommt, obwohl sie erklärungsbedürftig ist, wenn man sich auf die Limes-Definitionen stützt.
Ein sehr gutes Beispiel für die Nützlichkeit der Differentialschreibweise nach Leibniz ist zum Beispiel die Kettenregel, die in dieser Schreibweise
dz/dx = dz/dy * dy/dx
sehr einleuchtend und einfacher als andere Schreibweisen ist.
Ich versuche mal, das über den Zusammenhang mit bereits bekanntem darzustellen.
In Mathe und Physik hattest du sicher schon mit Differenzen zu tun.
Beispielsweise beträgt die Steigung einer Geraden
m = (y1 - y0) / (x1 - x0) = ∆y / ∆x
Das ∆ ist das griechische große Delta und steht für Differenz.
In der Physik berechnet man die Geschwindigkeit mit v = ∆s / ∆t
Mit Differenzen im endlichen Bereich kommt man bei linearen Funktionen ganz gut zurecht.
Je stärker eine Funktion aber gekrümmt ist, umso größer wird der Fehler, wenn man mit endlich großen Differenzen rechnet.
Jetzt geht man von endlich großen Differenzen zu unendlich kleinen Differenzen über. Man lässt also ∆x gegen 0 laufen.
Um das darzustellen und den Unterschied zu den Differenzen zu verdeutlichen, wird der Begriff Differential genommen. Statt eines großen D, also ∆, nimmt man das kleine d, verzichtet hier aber wegen der Bequemlichkeit auf die griechische Schreibweise.
Ansonsten bleibt im Prinzip alles ähnlich:
∆: "Bilde die Differenz!"
d: "Bilde die unendlich kleine Differenz!" = ""Bilde das Differential"
∆x: Differenz des x-Wertes
dx: unendlich kleine Differenz von x = Differential von x
∆/∆x f(x): Berechne die Differenz des Funktionswertes bei gegebenem ∆x
d/dx f(x): "Berechne die Änderung des Funktionswertes bei unendlich kleiner Änderung von x" oder abgekürzt: "Bilde die erste Ableitung der Funktion".
Hier kommt wieder die Parallele deutlich ins Spiel:
m = ∆y / ∆x gibt die Steigung einer Geraden an;
f' = dy/dx = d/dx f(x) gibt die Steigung einer Kurve an.
Wenn es Dir nur um die Schreibweise geht:
d/dx ist einfach nur die Aufforderung den rechts davon stehenden Funktionsausdruck nach x abzuleiten.
z.B. Nachfolgend sind verschiedene Schreibweisen der Ableitung mit der Funktion f(x) = x² als Beispiel :
y' = f'(x) = dy/dx = df/dx = df(x)/dx = d(x²)/dx = d/dx * f(x) = d/dx * x² =2x
d/dx muss natürlich einen Funktionsausdruck rechts stehen haben, sonst ergibt das eh keine Sinn.
Du erinnerst Dich an die Zeiten, als Du noch keine Ableitung kanntest? Als man anfing, die Steigung einer Funktion mit Hilfe von Sekanten herzuleiten?
Die Steigung wurde mit einem Differenzenquotienten beschrieben; häufig in Kurzschreibweise ∆y / ∆x. Dabei steht das ∆ für die Differenz zweier y/x-Werte.
Anschließend hat man die Differenz der x-Werte gegen null laufen lassen (um die Steigung an einer Stelle zu erhalten). Das wird nun mit dy/dx abgekürzt und als Differentialquotient gesprochen.
Das ist jetzt vielleicht etwas vereinfacht ausgedrückt, aber dafür evtl. anschaulich.
Inzwischen kann ich auch auf die Antwort von rumar verweisen - etwas mathematischer und historischer ausgedrückt :-)