Was bewirkten Variablen bei Funktionen 3. Grades
Hallo Die Grundform der Funktion 3. Grades lautet ja f(x)=ax³+bx²+cx+d . Nun frage ich mich für besseres Verständnis später im Unterricht was diese Variablen eigentlich so bewikren. Also d= Schnittpunkt mit der y-Achse das ist relativ klar, aber die anderen? Ich würde mich unheimlich freuen wenn ihr mir helfen könntet :)
2 Antworten
a sagt etwas aus, wie breit oder schmal eine Parabel ist.
Für b und c ist es nicht so einfach, weil es nur implizit sichtbar ist. Sie geben Auskunft über die Verschiebung einer Parabel nach links oder rechts.
d ist klar, der Schnittunkt mit der y-Achse; aber der Wert d/a ist auch bedeutsam, weil er das Produkt aller Nullstellen ist. Man benutzt d/a, um den ersten Linearfaktor für eine Polynomdivision herauszubekommen.
Wenn du genau eine Funktion 3. Grades hast, ist die erste Ableitung
3ax² + 2bx + c. Das sind ja sämtliche Steigungen. An der Stelle x = 0 haben wir wieder die y-Achse. c ist die Steigung der Tangente am Schnittpunkt mit der y-Achse, bisweilen eine große Hilfe beim Zeichnen.
Ich möchte dir das mal am Beispiel einer quadratischen Parabel klarmachen.
y = (x - 2)² + 4 ist die Scheitelpunktgleichung einer Funktion 2. Grades. Der Scheitelpunkt ist S(2|4). Das bedeutet eine Verschiebung um 2 in x-Richtung und um 4 in y-Richtung. Wenn man diese Form zur allgemeinen Form umrechnet, kommt heraus:
y = x² - 4x + 8
Das gibt jetzt den Schnittpunkt mit der y-Achse her (0|8), aber die aus dem Scheitelpunkt ersichtlichen Verschiebungswerte haben sich in der 4 und der 8 versteckt. Man müsste erst zurückrechnen, um sie herauszubekommen (quadratische Ergänzung und so). Bei einer Funktion 3. Grades ist es noch übler. Die Parameter b, c und d geben auch erst nach einer komplizierten Umrechnung solche Verschiebungswerte frei und sind obendrein noch ineinander verschachtelt, sodass sie allein für sich gar nichts aussagen.
Eine grF 3. Grades hat als Schaubild eine kubische Parabel.
Ist diese symm. zum Ursprung O, so ist ihre Gleichung y = ax³ + cx oder
y = ax(x² + b) = ax³ + abx und hat je nach Vorzeichen von b außer O
keine oder 2 Nullstellen. Der Streckfaktor a gibt an, wie sehr sie in y-Richtung
gestreckt oder gestaucht ist.
Bei Verschiebung in y-Richtung ist y = ax³ + abx + d.
Kommt schließlich noch eine Verschiebung in x-Richtung dazu,
so ist y = a(x – e)³ + ab(x – e) + d.
Nach dem Ausmultiplizieren entsteht die allgemeine grF 3. Grades
y = ax³ + rx² + sx + d, wo man aus r und s nicht mehr direkt
auf die Eigenschaften der Parabel schließen kann.
Wieso ist das mit c und b so schwirig? Ist ihre funktion auch von anderen Faktoren abhängig?