Warum wählt man bei vielen Exponentialfunktionen die Basis e?
Ich verstehe nicht warum (e hoch 0.5) hoch x verwendet werden kann. Das entspricht ja etwa 1.64, das ist nicht 1.5
Ergo was heisst wachstumsrate?
ausgedrückt wird.
4 Antworten
Diese Schreibweise hat Vorteile und man kann jede EXP-Funktion zu dieser Schreibweise umrechnen.
Angenommen wir wollen die Steigung der Funktion f(x) an einer Stelle x_{1} festellen, dann leiten wir die Funktion ab (f'(x)) und setzen dort x_{1} ein (f'(x_{1})).
Dieses ableiten geht mit der Basis "e" wesentlich einfacher, was an der Definition von "e" liegt, welche drauf abziehlt, dass "d/dx (e^{x}) = e^{x}".
So hat die Basis "e" noch viele mehr Verwendungen, wie in komplexen lässt sich damit eine Zahl von der algebraichen Form in die Polarform und in die trigonometriche Form uschreiben. So lassen sich auch wunderbare Funktionen, wie die trigonometrichen Funktionen, hyperbolichen Funktionen und Arcusfunktionen, mit EXP-Funktionen darstellen und somit lassen sich auch Beziehungen zwischen diesen Funnktionen finden, welche augenscheinlich nicht soviel gemeinsam haben.
So lassen sich auch viele Additionstheoreme über die EXP-Funktionen herleiten und beweisen bzw. lassen sich erst dadurch simple sachen wie "1^{sqrt(-1)} = e^{ln(1) * i} = cos(ln(1)) + i * sin(ln(1)) = cos(2kπi) + i * sin(2kπi)" berechnen.
Zudem erleichtert die Basis e auch viele aufgaben der Integralrechnung.
Dazu kommt, dass die Zahl e bzw. die Exponentialfunktion nicht "gewählt" worden ist, sondern praktisch eine Naturkonstante ist - also in der Natur bzw. der Physik vorkommt.
So verhält sich der Strom-Spannungs-Zusammenhang am pn-Übergang (Diode) nach der e-Funktion. Auch die mit Sinusfunktionen zu beschreibenden Schwingungen kann man durch e-Funktionen ausdrücken (Euler-Gleichungen).
Auch viel ökonomischen und sozialen Zusammenhänge kann man durch e-Funktionen beschreiben....
Weiterhin:
- Exponentielle Zunahme/Abnahme von Zerfall
- Zinseszins_Berechnungen
- Wahrscheinlichkeitsrechnung und Primzahlenverteilung.
Interessant ist auch in diesem Zusammenhang die Reihendarstellung von "e":
e=1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! +1/5!.........usw.
Das Besondere der e-Funktion ist, dass ihre Steigung gleichzeitig ihr Funktionswert ist. (e^x)' = e^x
Zu dem Beispiel im Text:
(c*e^(0,5x))' ist 0,5 *(c*e^(0,5x))
Damit ist hier das Wachstum die Hälfte des aktuellen Wertes.
Naja, das liegt daran, dass e die wunderschöne Eigenschaft hat, dass die Ableitung und das Integral von e^x wieder e^x ist.