Warum versagt FTCS bei hyperbolischen PDEs?
Das FTCS-Verfahren (Forward in Time - Centered in Space) verwendet das Euler-Vorwärts-Verfahren für die Zeit und zentrale Differenzen für den Raum.
Gibt es eine intuitive Erklärung, weshalb das Schema für die Lösung einer Wellen- oder Advektionsgleichung immer numerisch instabil ist, aber nicht für eine Diffusionsgleichung?
Man kann dies mittels von Neumann Stabilitätsnalyse natürlich zeigen, aber ich wüsste gerne den tieferen Grund. Möglicherweise muss ich das auch einfach so hinnehmen, aber es ist unbefriedigend.
1 Antwort
Ich habe mich zwar schon seit mehr als 30 Jahren nicht mehr mit der Numerik partieller Differentialgleichungen beschäftigt, wenn ich mich aber richtig erinnere, beschreiben hyperbolische PDEs zeitlich periodische Phänome wie bspw. in der Wellengleichung, parabolische PDEs jedoch Phänomene wie Wärmeleitung oder Diffusion, die zeitlich stets zu einem Gleichgewichtszustand führen. Meiner Erinnerung nach ist das auch der intuitive Grund dafür, dass das Euler-Vorwärts-Verfahren bei parabolischen PDEs stabil ist [zeitliche Konvergenz gegen einen Gleichgewichtszustand], nicht jedoch bei hyperbolischen PDEs, da die Lösungen über die Zeit hinweg schwingen.
Ich hoffe, dieser Gedanke hilft Dir vielleicht weiter, auch wenn er von einem Zahlentheoretiker stammt…😀