Warum schneiden sich 2 Parallelen in der Unendlichkeit?

49 Antworten

Hallo!

Hier hast Du eine ziemlich lange Antwort:

Euklid (ein alter Grieche ca. 300 v.Chr.) hat in seinem Buch "Die Elemente", die Grundlage der klassischen Geometrie (zumindest fuer die Ebenen) geschaffen. Dieses Buch ist streng logisch aufgebaut und versucht, wie alle guten Mathematikbuecher, bei einem Beweis nur Tatsachen zu verwenden, welche schon bekannt waren, weil sie schon bewiesen waren. Natuerlich hat das einen Haken. Es ist unmoeglich einen "ersten Satz" zu beweisen, da man ja keine Aussagen zur Verfuegung hat, aus denen man etwas folgern koennte. Deshalb beginnt das Buch mit sogenannten Axiomen. Das sind Aussagen, die ohne Beweis als richtig angesehen werden, auf denen dann die gesamte Theorie aufbaut. Eines dieser Axiome ist das Parallelen Axiom. Es lautet ungefaehr so: Sind in der Ebene eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf dieser Geraden liegt, gegeben, so existiert genau eine Gerade die durch P geht und g nicht schneidet. Geraden, die keinen Punkt gemeinsam haben (d.h. die sich nicht schneiden), nannte Euklid parallel. Viele Mathematiker fanden dieses Axiom jedoch als "unfein" und versuchten das Parallelenaxiom zu beweisen (mit Hilfe der anderen Axiome). Wenn man es beweisen koennte, so braeuchte man es nicht mehr als richtig vorauszusetzen. Allerdings ist den Mathematikern dieser Beweis nicht gelungen, und Gauss (1777-1855), also ca. 2000 Jahre nach Euklid, hat gezeigt, dass es unmoeglich ist, das Parallelenaxiom mit Hilfe der anderen Axiome zu beweisen. Sein Gedanke war recht einfach: Er hat die Axiome von Euklid genommen und das Parallelenaxiom durch ein anderes ersetzt (z.B. je 2 verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt). Danach zeigte er, dass die Axiome noch immer widerspruchsfrei (d.h. sich nicht gegenseitig wiedersprechen) sind, und dass man mit ihnen genauso gut Mathematik "machen" kann, wie mit den urspruenglichen Axiomen. Auf diese Weise gelangte Gauss zu den sogenannten "nicht - euklidischen Geometrien". Zunaechst galten diese als "abstrakte Hirngespenster", bis Albert Einstein "auftauchte" und bei seiner allgemeinen Relativitaetstheorie Nicht-Euklidische Geometrien benutzte. Das einfachste Beispiel einer Nicht-Euklidischen Geometrie ist die "projektive Ebene": Stell Dir einen ganz normalen 3-dimensionalen Raum mit einem Koordinatensystem x-y-z vor. Die Ebene E sei parallel zur xz-Ebene und schneide die y-Achse bei 1. Die Geraden die durch den Ursprung gehen bezeichnet man nun als Projektive Punkte (im Gegensatz zu den "normalen" Punkten des 3-dim. Raumes). Jeder projektive Punkt schneidet entweder die Ebene E oder liegt in der xz-Ebene. Andersrum kann man sagen, dass jeder Punkt der Ebene E genau einen projektiven Punkt representiert, naemlich die Gerade die durch diesen Punkt und den Ursprung geht. Fuer jede Punktmenge der Ebene E (z.B. Kreise, Strecken) gibt es also eine aequivalente Menge projektiver Punkte. Zusaetzlich gibt es noch die projektiven Punkte, die in der x-z-Ebene liegen. Diese nennt man unendlich ferne projektive Punkte oder auch kurz - Fernpunkte. Ein Fernpunkt ist also immer ein projektiver Punkt. Unter einer projektiven Geraden oder einer Geraden in der projektiven Ebene, versteht man eine Ebene im dreidimensionalen Raum, die den Ursprung enthaelt. Oder ganz korrekt: Die Menge aller projektiven Punkte, die in einer solchen Ebene enthalten sind. Jede projektive Gerade - bis auf die x-z-Ebene, schneidet die Ebene E in einer Geraden. Ausserdem gilt: Jede projektive Gerade (ausser die x-z-Ebene) besteht aus (projektiven) Punkten, die von Punkten einer Geraden auf E erzeugt werden, und einem Fernpunkt. Die x-z-Ebene besteht genau aus allen Fernpunkten und wird deshalb Ferngerade genannt. Erklaert man auf diese Weise, was man unter einer Geraden und einem Punkt in der projektiven Ebene verstehen will, so erhaelt man eine neue Geometrie, die offensichtlich sehr aehnlich der Geometrie auf der Ebene E ist, nur dass sie noch zusaetzliche Fernpunkte enthaelt, die zusammen die Ferngerade bilden. Nimmt man nun zwei Geraden, die in der Ebene E liegen, dann schneiden sich diese in einem Punkt P oder sie sind parallel. Die entsprechenden Geraden der projektiven Ebene schneiden sich dann in dem projektiven Punkt der durch P representiert wird, oder, im Fall das beide Geraden in E parallel sind, in einem unendlich fernen Punkt (kurz: im unendlichen). Das ist die Antwort auf Deine eigentliche Frage!

Da jede projektive Gerade einen Fernpunkt besitzt, also auch die Ferngerade schneidet, gilt in dieser Geometrie: Zwei beliebige voneinander verschiedene Geraden haben (genau) einen gemeinsamen Punkt.

Ich hoffe der Text ist trotz seiner laenge einigemassen verstaentlich und hilft Dir weiter.

Parallelen werden sich niemals kreuzen auch nicht in der Unendlichkeit, ansonsten wären es keine Parallelen. Unser Auge gaukelt uns das nur vor, das sie in der Ferne immer enger zusammenlaufen und sich scheinbar irgendwann kreuzen. Würdest Du den Parallelen folgen, dann könntest Du bis in die Unendlichkeit laufen und nie auf eine sich kreuzende Parallele treffen !

die Antwort ist ganz einfach: Das Parallelen sich schneiden ist nicht ausgeschlossen. In der Schule werden nur 2-3 Dimensionale Parallelen behandelt. Diese können sich auch in der Unendlichkeit nicht schneiden. Nimmt man aber Parallele, welche mehrdimensional sind, schließt sich das nicht mehr aus. Gute Beispiele sind die speziellen Relativitätstheorien.

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