Warum kann eine endliche Dezimahlzahl nicht die Länge einer Strecke angeben?
Hab immoment in Mathe das Thema Wurzel, kann mir jemand meine Frage beantworten? Wäre darüber sehr dankbar
3 Antworten
Was du wahrscheinlich meinst, ist, dass man viele Wurzeln, die man durch Konstruktionen mit Quadraten mit ganzzahligen Seitenlängen erhält, nicht als endliche Dezimalzahl darstellen kann. Hier fehlt eigentlich der Zusatz "endliche oder nicht-periodische Dezimalzahl".
Für einige dieser Wurzeln geht es nämlich sehr wohl. Die Diagonale im Quadrat mit den Seitenlängen 2 und 3 hat bspw. die Länge 5, denn das ist √25.
Wenn die resultierende Seitenlänge im Quadrat jedoch keine Quadratzahl ist, so ist die Seitenlänge an sich irrational, d.h. die Zahl kann nicht als gekürzter Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden. Einen Beweis, dass die Wurzel einer jeden natürlichen Nicht-Quadratzahl irrational ist, fndest du hier als erste Antwort. Es schadet hier auch nicht, vielleicht schon die Irrationalitätsbeweise für Wurzel 2 und Wurzel 3 zu kennen, um die Idee hinter diesem allgemeinen Beweis zu verstehen. Siehe dazu hier und hier.
Irrationale Zahlen haben die Eigenschaft, nicht-periodisch zu sein und unendlich viele Nachkommastellen zu haben.
Damit kann man sie nicht als endliche Dezimalzahl darstellen. Das ist für bspw. die Länge 1/3 zwar auch so, aber 1/3 ist rational und periodisch. Irrationale Zahlen hingegen haben kein Muster (sonst wären sie ja periodisch). √18 hat so beispielsweise keine endliche (oder periodische) Dezimaldarstellung.
Die Eigenschaft, dass irrationale Zahlen unendlich viele und nicht-periodische Nachkommastellen haben, liegt daran, dass rationale Zahlen, also das direkte Gegenstück der irrationalen Zahlen, eben entweder eine endliche oder periodische Darstellung als Dezimalzahl besitzen. Dies ist so, weil man die Dezimaldarstellung einer periodischen Zahl einfach durch eine schriftliche Division erhält, und dort können eben genau die Fälle "endlich" oder "periodisch" auftreten. Warum das wiederum so ist, dafür müsste ich hier etwas mehr ausholen. Ich spare mir das hier mal.
Dann muss für irrationale Zahlen ja das Gegenteil wahr sein, also gleichzeitig die unendlich vielen Nachkommastellen und die Nicht-Periodizität.
Natürlich kann eine endliche (und damit meinst du vermutlich: eine Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen ungleich Null hinter dem Komma) Dezimalzahl die Länge einer Strecke angeben.
Da ihr gerade das Thema mit den Wurzeln bearbeitet: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bei dem die Katheten beide die Länge 1 haben hat die Länge Wurzel aus 2. Wurzel aus 2 ist nicht rational, daher kann die Länge dieser speziellen Strecke nicht durch eine endliche Dezimalzahl angegeben werden. Meinst du das?
"Lustig" finde ich es : diese Diagnale ist da und jeder könnte denken , wenn ich ganz genau abmesse , habe ich doch Wurzel 2 .
Nee nicht ganz, wenn man in den Taschenrechner die Wurzel von 18 eingibt kommt 4,242640687 herraus und meine Frage lautet warum diese Zahl jetzt nicht die Maßzahl der Seitenlänge des Quadrates sein kann (hab das aus einem Mathe Buch)
Warum kann eine endliche Dezimahlzahl nicht die Länge einer Strecke angeben?
Das kann sie sehr wohl. Beispiel: die Strecke ist 5,5 cm lang. Das klappt allerdings nicht bei allen Strecken. Aber über irgendeine Besonderheit einer Strecke schreibst du nichts.
gut gut ............ich dachte schon, was kann da nun wieder für ein Problem liegen , warum das nicht geht . Weil die FS grade wurzelt , denke ich eher es bezieht sich auf wurzeln , die nicht als streckenlänge herhalten können . . . Obwohl die Diagonale im Einheitsquadrat ?