warum ist e^(2pi*i/8) = (1+i)/sqrt(2) und nicht nur 1+i, e^(2pi*i/8)=45° und 1+i auch 45°?

e^(2pi*i/8)=45° und 1+i auch 45°

Korrektur:

*arg(e^(2pi*i/8)) = 45°, da 2pi*i/8 = 45°
*arg(1 + i) = 45°
doch e^(2pi*i/8) ist nicht 1 + i

z.B. hat 2 + 2i auch 45° aber ist auch nicht das gleiche wie 1 + i

Eine Komplexe Zahl ist nicht ihr Argument!
Eine komplexe Zahl hat auch einen Betrag und dieser ist bei den beiden Zahlen unterschiedlich, also sind die beiden Zahlen unterschiedlich!

warum ist e^(2pi*i/8) = (1+i)/sqrt(2) und nicht nur 1+i

e^(2pi*i/8) = e^{45°}
            = cos(45°) + sin(45°)i
            = sin(45°) * (1 + i) = cos (45°) * (1 + i)
            = 1/sqrt(2) * (1 + i)
            = (1 + i) / sqrt(2)

und warum nicht 1+i

z = 1 + i, z = a + bi
z = sqrt(a² + b²) * e^{arctan2(b, a)}
z = sqrt(1² + 1²) * e^{arctan2(1, 1)}
z = sqrt(1 + 1) * e^{45°}
z = sqrt(2) * e^{45°}
z = sqrt(2) * e^{2pi*i/8}

Achso, ist der Betrag von e^(...) immer 1?

Nein...

e^1 ist z.B. 2,7...

Es gilt jedoch durch den da trigonometrischer Pythagoras:

|e^{arg(...) * i}| = |cos(arg(...)) + i*sin(arg(...))|
|e^{arg(...) * i}| = sqrt(cos(arg(...))² + sin(arg(...))²)
|e^{arg(...) * i}| = sqrt(1)
|e^{arg(...) * i}| = 1