Was ist mit diesem Hinweis gemeint, zu den komplexen Zahlen, bezüglich dem Argument?
Es ist doch so, das Argument von z6 steht doch als Exponent bei e und ist 2pi/8, das plus 1 sei das Argument von z7? Aber z7 sein Argument ist doch 2pi/16 weil es auch der Exponent von e ist, halt ohne das i?
1 Antwort
Es ist doch so, das Argument von z6 steht doch als Exponent bei e und ist 2pi/8
Jap!
das plus 1 sei das Argument von z7?
Nope!
Das Arugment der Zahl "z_{6} + 1" - deswegen auch diue Klammer! - ist das Argument von z_{7}, jedoch ist das Argument von z_{7} nicht 1!
Aber z7 sein Argument ist doch 2pi/16 weil es auch der Exponent von e ist, halt ohne das i?
Genau!
Die Gleichung soll auch nicht aussagen, dass das Argument von z_{7} = 1 ist, sondern das z_{7} das gleiche Argument wie die Zahl z (mit z = z_{6} + 1)!
Das können wir auch kurzer Hand beweisen:
z_{6} = e^{2 * pi * i / 8}
arg(z_{6}) = 2 * pi / 8
z_{7} = e^{2 * pi * i / 16}
arg(z_{7}) = 2 * pi / 16
z_{6} + 1 = e^{2 * pi * i / 8} + 1 | eulersche Formel
z_{6} + 1 = cos(2 * pi / 8) + 1 + sin(2 * pi / 8) * i
z_{6} + 1 = 1 / sqrt(2) + 1 + i / sqrt(2)
z_{6} + 1 = 1 / sqrt(2) + sqrt(2) / sqrt(2) + i / sqrt(2)
z_{6} + 1 = (1 + sqrt(2)) / sqrt(2) + i / sqrt(2) = Re(z_{6} + 1) + Im(z_{6} + 1) * i
Re(z_{6} + 1) = (1 + sqrt(2)) / sqrt(2)
Im(z_{6} + 1) = i / sqrt(2)
arg(z_{6} + 1) = arctan2(Im(z_{6} + 1), Re(z + 1))
arg(z_{6} + 1) = arctan2(1 / sqrt(2), (1 + sqrt(2)) / sqrt(2))
arg(z_{6} + 1) = pi * i / 8
arg(z_{6} + 1) = 2 * pi * i / 16
arg(z_{6}) = 2 * pi / 8
arg(z_{7}) = 2 * pi * i / 16
arg(z_{6} + 1) = 2 * pi * i / 16
arg(z_{7}) = arg(z_{6} + 1)
Joa...
ErläuteerungSie können es z.B. zeichnerich machen und ablesen...
Sie ziechnen einen Kreis mit den Radius r = 1 und packen auf diesen Kreis ein Koorddinatensystem rauf, so das der Ursprung der Mittelpunkt des Kreises ist.
(mathematisch gesprochen hat der Kreis die Gleichung "x² + y² = 1" bzw. "f(x) = (1 - x²)^{1/2}")
Jetzt zeichnen Sie den Winkel, aka das was aus arg rauskommt, ein machen dann da eine Strecke vom Ursprung mit den Winnkel hin.
Der Abstand des Endes der Strecke zur x-Achse ist der Imaginärteil und der Abstand des Endes der Strecke ist der Realteil und die können ir einfach mit den lineal abmessen.
Zieht man das durch sieht das umgefähr so aus:
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Power%5Be%2C%5C%28123%292*Divide%5Bpi%2C16%5D*i%5C%28125%29%5D
Jetzt nur noch das Lineal zücken.^^
In kurzen Schritten- Kreis mit r = 1 zeichnen
- 2-D Koordinatensystem mit Ursprung als Mittelpunkt des Kreises zeichnen
- Argument einzeichnen von der x-Achse (aka Realteil) aus
- Strecke vom Ursprung bis zum Kreisrand eiinzeichnen entlang des Winkels
- der Abstand zur x-Aches ist der Realteil
- der Abstand zur y-Achse ist der Imaginärteil
Sollte man garkein Bock auf zeichnen haben, könnte man auch durch Reihenentwicklung umgefähr das Ergebniss herrausbekommen.
Man könnte aber auch mit den Identiäten und Rechenregeln für die trigonometrischen Funktionen berechen, wie Herr Halbrecht es hier vormacht: https://www.gutefrage.net/frage/wie-schreibt-man-e2pi16-ohne-taschenrechner-so-um-dass-man-real--und-imaginaerteil-hat#answer-472832748
danke, hilft der Hinweis, dass ich ohne Taschenrechner da weiter komme, wenn ich z7 nach imaginär und realteil auflösen will?