Warum ist die Reihenfolge der Vektoren von einer Orthonormalbasis egal?
Servus, in meinen Aufgabenstellungen steht sehr häufig, dass die Reihenfolge von den Vektoren für die Orthonormalbasis beliebig gewählt werden darf. Allerdings komme ich mit verschiedenen Reihenfolgen auf verschiedene Lösungen. Stimmt das, dass es für jede Reihenfolge eine eigene Lösung gibt oder gibt es reihenfolgenunabhängig eine einzige richtige Lösung?
2 Antworten
Warum solle die Reihenfolge relevant sein? Eine Orthonormalbasis zeichnet sich nur dadurch aus, dass alle Vektoren die Norm 1 haben und das Skalarprodukt beliebiger Vektoren aus dieser Menge von Vektoren 0 ist.
Alle Vektoren des Vektorraums lassen sich dann als Linearkombination von Vektoren der Basis darstellen.
Allerdings komme ich mit verschiedenen Reihenfolgen auf verschiedene Lösungen.
Ah ja. Bei welcher Aufgabe kommst du denn da auf verschiedene Lösungen?
Stimmt das, dass es für jede Reihenfolge eine eigene Lösung gibt oder gibt es reihenfolgenunabhängig eine einzige richtige Lösung?
Bei der Darstellungsmatrix von Abbildungen hängt die Abbildungsmatrix zum Beispiel logischerweise von der Reihenfolge der Vektoren in der Basis ab. Ich verstehe schlicht nicht wo genau du da ansetzt. Vielleicht wäre ein Beispiel sinnvoll.
Die Ergebnisse dürften doch wohl aus den gleichen Komponenten bestehen, nur in anderer Reihenfolge?
Stellen wir uns eine Ebene im Raum durch den Nullpunkt vor mit zwei nicht ortogonalen Basisvektoren. Dann sieht man sofort dass je nachdem mit welchem Vektor man die Orthogonalisierung beginnt, zwei verschiedene Orthonormalbasen heraus kommen, die aber trotzdem weiterhin die selbe Ebene aufspannen. Es steht in der Aufgabe ja nicht drinnen dass ein eindeutiges Ergebnis herauskommen wird, oder?
Nein, nicht notwendigerweise, wie man sich leicht an meinem Beispiel in der Ebene klar machen kann.
Bestimmen Sie mit dem Schmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis des R^3, die sich aus den folgenden Basisvektoren ableitet: (3 verscheidene Vektoren). Sie können die Reihenfolge bestimmen, in der Sie die Vektoren benutzen.
Setze ich die Vektoren in einen Gram-Schmidt-Rechner, so erhalte ich für jede Reihenfolge ein anderes Ergebnis.