Warum ist die Ableitung von ln(x) = 1/x?
2 Antworten
Hallo,
e^(ln(x))=x, denn die e-Funktion und ln heben sich auf, weil e die Basis des natürlichen Logarithmus ln ist.
Wir wissen, daß die Ableitung von x=1.
Dann ist auch die Ableitung von e^(ln(x))=1
e^(ln(x)) wird nach der Kettenregel (innere Ableitung mal äußere Ableitung) abgeleitet.
Die äußere ist e^(ln(x)), also x
Preisfrage: Womit muß x multipliziert werden, damit die Ableitung von e^(ln(x)), nämlich 1, herauskommt?
Mit 1/x.
Folglich muß es sich bei 1/x um die innere Ableitung, die Ableitung von ln (x) handeln.
Herzliche Grüße,
Willy
y = ln(x) , also x = e^y
=> dy/dx = 1 / dx/dy = 1 / e^y = 1 / x
M. E. ist dieser Weg (über die Umkehrfunktion) der naheliegendste.
Es gibt auch die Möglichkeit, den Logarithmus als Integralfunktion von 1/x zu definieren (mit der Normierung ln(0) = 1, also 1 als untere Integralgrenze), und alle Eigenschaften daraus herzuleiten. Zur Didaktik: motivieren lässt sich dies damit, dass man zu jeder Potenzfunktion von x eine Stammfunktion angeben kann mit Ausnahme von x^(-1).