Warum ist die Ableitung von ln(x) = 1/x?

4 Antworten

Hallo,

e^(ln(x))=x, denn die e-Funktion und ln heben sich auf, weil e die Basis des natürlichen Logarithmus ln ist.

Wir wissen, daß die Ableitung von x=1.

Dann ist auch die Ableitung von e^(ln(x))=1

e^(ln(x)) wird nach der Kettenregel (innere Ableitung mal äußere Ableitung) abgeleitet.

Die äußere ist e^(ln(x)), also x

Preisfrage: Womit muß x multipliziert werden, damit die Ableitung von e^(ln(x)), nämlich 1, herauskommt?

Mit 1/x.

Folglich muß es sich bei 1/x um die innere Ableitung, die Ableitung von ln (x) handeln.

Herzliche Grüße,

Willy

y = ln(x) , also x = e^y

=> dy/dx = 1 / dx/dy = 1 / e^y = 1 / x

M. E. ist dieser Weg (über die Umkehrfunktion) der naheliegendste.

Es gibt auch die Möglichkeit, den Logarithmus als Integralfunktion von 1/x zu definieren (mit der Normierung ln(0) = 1, also 1 als untere Integralgrenze), und alle Eigenschaften daraus herzuleiten. Zur Didaktik: motivieren lässt sich dies damit, dass man zu jeder Potenzfunktion von x eine Stammfunktion angeben kann mit Ausnahme von x^(-1).

2

Potenzen x auflösen?

Komme ab c) igiwe nicht weiter

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