Warum ist das Integral von x hoch minus 1 nicht x hoch Null?
Wenn ich -1 + 1 rechne komme ich doch auf Null.
4 Antworten
Einfach erklärt :
Potenzregel der Integralrechnung:
ergäbe :
f(x)=x^(-1)=1/x siehe Potenzgesetz a^(-n)=1/a^(n) und 1/a^(-n)=a^(n)
F(x)=Integral(1/x*dx)=ln(x)+C
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale
Grundintegral Integral(1/x)*dx=ln(x)+C
Weil x^0 gleich 1 ist und die Ableitung einer Konstanten immer 0 ist. Die Ableitung von ln(x) hingegen ist 1/x. Daher ist das Integral von 1/x (auch bekannt als x^(-1)) auch ln(x).
Im Allgemeinen ist die Stammfunktion von x^n:
(+ C)
Bei n = -1 hätte man hier aber 1/0 als Faktor und durch 0 darf man nicht teilen. x^(n+1) wäre x^0 = 1, eine Konstante mit Ableitung 0.
Wenn man weiß, dass 1/x die Ableitung von ln(x) ist, weil es in einem Formelbuch steht oder man es einfach weiß, dann wird das Ganze einfach.
Der Beweis (wenn man es nicht nur nachlesen, sondern auch verstehen will) ist hier:
https://matheguru.com/differentialrechnung/beweis-fur-die-ableitung-des-naturlichen-logarithmus.html
Ist bei mir schon länger her, habe für den Beweis ein bisschen googeln müssen.
Dass die Stammfunktion von 1/x bzw die Ableitung von ln(x) einfach so vom Himmel fällt, fand ich unbefriedigend. h-Methode und Logarithmusgesetze kennt man als Schüler meist. Insofern ist das nachvollziehbar, auch wenn man vielleicht nicht selbst darauf käme.
Wie geht das mit Umkehrformel? Vielleicht sagt mir nur dieser Begriff nichts.
Da hast du auch recht, ich habe den falschen Namen verwendet. Gemeint war die Umkehrregel.
Es gibt auch Systeme, die den natürlichen Logarithmus als Integralfunktion von 1/x definieren. (Die Konstante wird so gewählt, dass ln(1) = 0)
"Der Beweis (wenn man es nicht nur nachlesen, sondern auch verstehen will) ist hier:"
Greifbarer wäre es einfach die Umkehrformel anzuwenden, auch wenn der Beweis über den Differentialquotienten elementarer ist.