Warum gibt es unendlich viele Vektoren zu einer fest vorgegebenen Länge?
Also warum gibt es zum Beispiel für die Länge 8 viele verschiedene Vektoren, die diese Länge beschreiben? Ich verstehe das irgendwie nicht so ganz, kann mir das vielleicht jemand erklären? :)
5 Antworten
Hallo,
am besten ist das vielleicht durch ein Bild zu veranschaulichen.
Im ersten Bild ist ein Kreis mit Radius 8 und Mittelpunkt O (= Ursprung des Koordinatensystems) abgebildet.
Die Vektoren OA, OB, OC, OD, OE und OF haben alle die Länge 8, aber jeder hat eine andere Richtung.
Wie man sich leicht vorstellen kann, gibt es unendlich viele verschiedene Vektoren der Länge 8, da die Kreislinie aus unendlich vielen Punkten besteht.
(Über OX möge man sich einen Pfeil vorstellen).
Im zweiten Bild sehen wir drei Vektoren: AB, CD und EF.
Alle drei Vektoren haben die Länge 8, aber auch die gleiche Richtung.
Wenn man jeden dieser drei Pfeile so parallel verschiebt, dass ihr Anfangspunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, dann liegt jede ihrer Spitzen auf dem Punkt P mit den Koordinaten (8;0).
Die Vektoren werden als gleich angesehen. Sie haben gleiche Länge und gleiche Richtung.
Gruß
P.S. Nach Absenden war das zweite Bild nicht sichtbar, deshalb habe ich es nochmal eingefügt.
Nun ist es doppelt da. Leider kann ich es nicht löschen.
Die Länge eines Vektors ist definiert durch sqrt(x1^2+x2^2+...+x3^2)
Aufgrund der Bijektivität von x-> sqrt(x) für beliebige Körper K gilt dann, dass die Summe aller Werte (oben x1-xn) eines Vektors eine Partition bezüglich der äquivalenz bildet
Ich gehe davon aus dass der Vektorraum über den Körper R definiert ist (normalfall).
Nun kann man zunächst argumentieren für R^1 gilt diese Behauptung offensichtlich nicht da:
x1=k
d.h. es gibt exakt 1 Vektor mit derselben Länge
Eindeutig bestimmt ist.
Für R^>2 kannst du nun zeigen, dass für x1+x2 = k
unendlich viele lsg vorhanden sind da
=x1-1+x2+1
=x1-2+x2+2
=...
Damit auch für x1+x2+...+xn da (x1+x2+...+x(n-1))€R
wobei k€R eine beliebige Länge beschreibt
Bei der Vektorgeometrie ergänzt du ja eine weitere Achse, meistens x3 genannt. Da alle Achsen unendlich lang sind, entsteht ein (theoretisch) unendlich großer Raum.
Du kannst also in jedem möglichen Punkt (sind ja unendlich viele) einen Vektor mit Länge 8 hinsetzen.
Hinzu kommt, dass die Richtung des Vektors (die neben der Länge diesen ja definiert) hier egal ist. Ein Vektor ist erst durch seine Koordinaten festgelegt bzw. einmalig, es gibt aber immer viele verschiedene Vektoren mit einer bestimmten Richtung oder Länge :-)
LG, Fdez92
ein Vektor ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt;
also gibt es unendlich viele Vektoren, die die Länge 8 haben.
Es gibt unendlich viele mögliche Richtungen für einen Vektor
