Warum gibt die Fakultät die Kombinationen von abnehmenden Zügen an?
Also wenn ich z. B. n=10 Züge habe, beim ersten Zug 10 Möglichkeiten, danach 9 beim zweiten Zug, danach 8 beim dritten Zug usw.
Warum genau ist dann 10! dei Anzahl der möglichen Kombinationen? Das klingt ja nahe zu zu einem Wunder, dass das für jedes beliebiges n geht.
Gibt es dazu einen Beweis und wie kann man sich das vorstellen im Bereich von n=1 bis n=3, kann man sich das gut vorstellen, aber gerade für n> 3, warum das für jede beliebige Zahl (Element der natürlichen Zahlen), geht verwundert mich doch stark, das macht die Fakultät zu einer sehr mächtigen Funktion.
1 Antwort
... n=10 Züge habe, beim ersten Zug 10 Möglichkeiten, danach 9 beim zweiten Zug, danach 8 beim dritten Zug usw....
Genau so ist es.Also 10*9*8*7....=10!
Ich verstehe jetzt deine Frage für den Beweis nicht, die Fakultätsfunktion ist definiert als:
Stell dir vor, du hast 10 verschiedene Karten und willst diese in einer Reihe anordnen. Für den ersten Platz hast du 10 Möglichkeiten. Wenn du eine Karte ausgewählt und auf den Tisch gelegt hast, sind noch 9 Karten übrig, für die 2. Karte hast du also nur noch 9 Möglichkeiten. Danach 8, dann 7, dann 6, und so weiter. Die gesamte Anzahl an Möglichkeiten ist daher das Produkt von 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1.
Das ließe sich auch beweisen, wäre für dich aber wahrscheinlich nicht intuitiv verständlich.
n! ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.
Hat dir nun die Antwort von verybestanswers hinreichend gut gefallen, also hast du es verstanden, oder suchst du immer noch nach einem Beweis?
Naja, es muss doch einen Beweis dazu geben, dass das die Anzahl der Möglichkeiten ist, die man bilden kann? Dass es so definiert ist, ist klar. Mich wundert es nur, dass man sagen kann für ein beliebiges n der natürlichen Zahlen sei die Fakultät zugleich die Anzahl der Kombinationen, die man mit n Zügen, wo die Möglichkeiten jeweils mit -1 abnehmen, darstellt.
Das muss man ja irgendwie bewiesen haben, dass das allgemein gilt?
Wäre wahrscheinlich ein Beweis, der gut mit der vollständigen Induktion zu handhaben ist, habe jedoch keine Ahnung von Kombinatorik, weshalb ich mich nicht daran wagen mag.