Wann ist eine Matrix injektiv/surjektiv(/bijektiv)?
Danke schon mal für alle Antworten! Im Internet habe ich gelesen, das dies von der Determinante abhängt, stimmt das?
1 Antwort
Eine Matrix kann nicht injektiv bzw. surjektiv bzw. injektiv sein.
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität sind eigenschaften, welche Relationen (bzw. insbesondere von Funktionen). Bei Matrizen handelt es sich aber zunächst nicht um Relationen oder Funktionen.
Was jedoch surjektiv bzw. injektiv bzw. bijektiv sein kann, wäre eine zur Matrix passende lineare Abbildung. Meinst du vielleicht das?
Man kann dies am Rang der Matrix erkennen.
- Eine zugehörige lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat, also wenn der Rang gleich der Spaltenanzahl ist.
- Eine zugehörige lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat, also wenn der Rang gleich der Zeilenanzahl ist.
- Eine zugehörige lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix regulär bzw. invertierbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix quadratisch ist und vollen Rang hat, also wenn Rang und Spaltenanzahl und Zeilenanzahl übereinstimmen.
Den Rang einer Matrix kann man beispielsweise bestimmen, indem man die Matrix mit Gauß-Algorithmus in (Zeilen-)Stufenform bringt und dann die Anzahl der Zeilen zählt, die nicht komplett 0 sind.
Bei quadratischen Matrizen kann man ausnutzen, dass die Matrix genau dann vollen Rang hat, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Rang_(Mathematik)
Man identifiziert im saloppen Sprachgebrauch oft lineare Funktionen mit den sie beschreibenden Matrizen.
(Spätestens bei einer Basistransformation ist das natürlich hinfällig.)
Genau das meine ich. Wie kann ich die Eigenschaften an der Matrix erkennen?