Ansatz: Ein linearer Code ist ein Code, der die Untervektorraumkriterien erfüllt

UVO: C ist nicht leer.

Kriterium ist erfüllt, weil in C ja schon mal die Wörter (1,0,1), (1,2,0) und (0,2,2,) drin sind.

UV1: Abgeschlossenheit der Addition

UV2: Abgeschlossenheit der Multiplikation

Sind beide erfüllt, da z.B. (1, 0, 1) + (1, 2, 0) = (2, 2, 1) ergibt und

(1, 0, 1) + (0,2, 2) = (1 , 2, 3) und da wir im F₃³ sind, wir das zu (1, 2, 0)

(1,2,0) + (0,2,2) = (1,1,2)

(1, 0, 1) * (1, 2, 0) = (1, 0, 0)

(1, 0, 1) * (0, 2, 2) = (0, 0, 2)

(1, 2, 0) * (0, 2, 2) = (0, 1, 0)

usw.

Die dadurch neu erzeugten Codewörter (2, 2, 1,), (1, 1, 2), (1,0,0), (0,0,2) und (0,1,0) müssten dann auch wieder in C sein und wieder gegenseitig addiert und multipliziert werden. Ebenso die daraus neu erzeugten Codewörter. Das führt dazu, dass die Meng ein C am Ende aller 3er-Kombinationen aus 0, 1 und 2 wären, also

(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1) (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (0,0,2) , (0,2,0), (2,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0), (2,2,2), (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2), (2,1,1,), (1,2,1), (2,2,2), (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1), (0,2,1), (1,2,0), (2,1,0), (1,0,2), (2,0,1).

In der nächsten Teilaufgabe wird nach der Dimension des Codes gefragt. Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren die eine Basis bilden. Vektoren bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind und der Spann ganz in C ist. Jetzt hat man aber das Problem, dass die Wörter ja nicht linear unabhängig sind, weil sich aus jedem Wort wiederum ein anderes erzeugen lässt.

Es seien nicht-teilerfremde natürliche Zahlen m1, m2 ∈ N \ {1} gegeben. Für welche a1, a2 ∈ Z hat die folgende simultane Kongruenz eine Lösung?

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

Meine Idee:

1. das m1 m2 nicht teilefremd, muss es einen Zahl geben die beide teilt
2. x lässt sich jeweils schreiben als: x = km1 + a1
3. x = n * m2 + a2

Wie komme ich jetzt weiter?