Wahrscheinlichkeiten? (Korrekter mathematischer Lösungsweg)?
Am Roulette-Tisch
Manuela, Markus, Pedro und Pauline besuchen an ihrem Ferienort ein Spielkasino.
Am Roulettetisch können sie u. a. auf folgende Ereignisse setzen:
Rouge: alle roten Zahlen
Noir: alle schwarzen Zahlen
Colonne 34: die erste Längsreihe (1;4;7;.. ; 34) Colonne 35: die zweite Längsreihe (2; 5; 8; ...; 35) Colonne 36: die dritte Längsreihe (3; 6; 9; ...; 36)
Manuela setzt immer auf eine Colonne, Markus setzt immer auf Noir.
-Pedro möchte so setzen, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von Markus möglichst wenig ändert, wenn bekannt ist, dass Pedro gewinnt. Geben Sie an, wie Pedro seinen Jeton setzen sollte. Begründen Sie, dass es keine Setzmöglichkeit gibt, für die sich gar keine Änderung der Gewinnwahrscheinlichkeit von Markus ergibt.
-Pauline möchte auf die Colonne 35 und eine Farbe setzen. Geben Sie an, auf welche der beiden Farben sie setzen sollte, um die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns zu maximieren.
1 Antwort
Teil 1)
Setzt Pedro auf eine einzige rote Zahl und gewinnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch Markus gewinnt gleich Null.
Setzt Pedro auf eine einzige schwarze Zahl und gewinnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch Markus gewinnt gleich 1.
Setzt Pedro auf eine rote und eine schwarze Zahl und gewinnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch Markus gewinnt gleich 1/2.
Letzteres entspricht ungefähr der Wahrscheinlichkeit, dass Markus unabhängig von Pedro gewinnt :
1/2 ~ 18/37
Für Pedro gibt es viele andere Möglichkeiten, Jetons mit ähnlichem Ergebnis zu setzen, z.B. auf n rote und gleichzeitig auf n schwarze Zahlen.
Die Behauptung "Begründen Sie, dass es keine Setzmöglichkeit gibt, für die sich gar keine Änderung der Gewinnwahrscheinlichkeit von Markus ergibt." ist strittig.
Setzt Pedro auf alle Zahlen von 0-36, gewinnt Pedro immer, und die Wahrscheinlichkeit, dass dann auch Markus gewinnt, verbleibt bei 18/37.
Pedro macht mit dieser Strategie zwar Verlust, aber danach ist nicht gefragt. Verknüpft man den Begriff "Gewinnwahrscheinlichkeit" mit dem Ereignis, auch finanziellen Gewinn zu erzielen, wird die Wahrscheinlichkeit 18/37 nie exakt erreicht. Beweis:
Sei Em das Ereignis "Markus gewinnt"
Sei Ep das Ereignis "Pedro gewinnt"
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt:
(I): p (Em unter der Bedingung Ep) = p(Em und Ep) / p(Ep)
Diese Wahrscheinlichkeit soll bei 18/37 liegen:
(I): p(Em und Ep) / p(Ep) = 18/37
Es gilt:
p(Ep) = n/37, p(Em und Ep) = m/37 mit n,m = {1,2,...,36}
Werte einsetzen:
(I): (m/37) / (n/37) = (18/37)
Daraus folgt:
(I): n/m = 37/18
Wegen n und m <= 36 gibt es keine Lösung der Gleichung.
Teil 2)
Kolonne 35 hat 4 rote und 8 schwarze Zahlen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit wird erhöht, wenn man zusätzlich auf alle roten Zahlen setzt.