Vollständige Induktion für 1+2^3++n^3=(1+2+...+n)^2?

Hallo, ich bin grade an der Aufgabe dran:

Mein Lösungsweg:

IA: n=1: $1^3=1^2$ IV: Es gibt ein n aus N sodas:

IS: Beim Induktionsschritt komme ich nicht voran, ich weiß dass man für jedes n n+1 einsetzen muss jedoch komme ich nicht damit klar. Wäre der Schritt dann so:

$1+2^3...+\left(n+1\right)^3=\ \left(1+2+...\ n+1\right)^2$

Danke im vorraus und Liebe Grüße

Answer 1

[LoverOfPi]

Nein.

IS: $1^3+2^3+...+(n+1)^3=\left(1+...+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\$ nach IV

Aber

$1+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ und damit

$=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\frac{4\left(n+1\right)^3}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\cdot\left(4\left(n+1\right)+n^2\right)}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4}$ $=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\right)^2=\left(1+...+\left(n+1\right)\right)^2$ und das war zu zeigen.