verstehe ich dieses textbeispiel falsch?
also das textbeispiel lautet:
Aus jeder Ecke eines quadratischen Kartonstücks mit der Seitenlänge 18 cm wird ein kleines Quadrat ausgeschnitten. Die verbleibenen Seitenteile werden aufgebogen, sodass eine (oben offene) Schachtel mit quadratischer Grundfläche entsteht. Wie groß muss die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? Wie groß ist dieses Volumen?
Ich hoffe, dass ihr euch ungefähr vorstellen könnt, was gemeint ist. Ich habe auch herausgefunden, wie lang die Seite des Kartonstücks ist, ohne die zwei Quadratstücke, nämlich 18-2x.
Nun, in meinem Heft habe ich nun nachgeschaut und ich muss wie folgt weitermachen:
V = (18 -2x)^2 * x
Also ihr müsst mir die Hausübung nicht machen, sondern erklären, wieso es so gemacht werden muss. Ich habe schon alle Rechenschritte vor mir, aber ich weiß nicht wie man zu diesen Rechenschritten kommt.
Man muss offensichtlich eine solche Seitenlänge mit einer identischen Seitenlänge multipliizieren, daher ist es ja auch (18-2x)^2. Aber wieso mal x? Ist das die Formel eines bestimmten Körpers? Bitte klärt mich auf !
4 Antworten
Hallo, die Frage habe ich neulich schon mal gelesen. Das Volumen ist nun mal Grundfläche mal Höhe, und x ist die Höhe! Denn wenn die Ecken ausgeschnitten sind, knickt man ja die Kanten hoch! Das Volumen muss nun abgeleitet werden:
V = (18 - 2x)² * x
Das kannst du mit der 2. Binomischen Formel machen oder du benutzt die Produktregel und die Kettenregel!
ja, das ist ein Quader mit quadratischer Grundfläche;
V=a²•h und a ist bei dir 18-2x und h ist bei dir x (Skizze)
deshalb V=(18-2x)² • x
such mal Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche
Oh, ok, danke.
Aber widerum verstehe ich das Prinzip dieser Extremwertaufgabe nicht. Sonst muss man immer eine Nebenbedingung usw. bilden und dann diese immer so umformen, dass man eine Variable in die Zielfunktion einsetzen konnte. Dann konnte man gleich ableiten und ein Ergebnis bekommen.
Aber bei diesem Beispiel ist mir die Zielfunktion schon vor die Nase gelegt, eine Nebenbedingung habe ich nicht. Mir wurden sogar Zahlen angegeben, die ich einfach nur in die Zielfunktion einsetzen muss und ableiten muss, mehr nicht.
oO
du kannst als Zielfunktion V=a² • h und als Nebenbedingung a=18-2x und h=x betrachten.
Das wäre eine großer Abwechslung für mich, denn in allen Beispielen waren Nebenbedinung und Zielfunktion eine Formel.
Zum Beispiel das Rechteck mit der größten Fläche --> Zielfunktion (A = a * b) und die Nebenbedingung wäre dann, dass der Umfang = 90 sein muss ( U = 2a + 2b = 90 )
da hast du völlig recht; diese Aufgabe ist ein kleines bischen anders als die anderen; musst du so akzeptieren.
Hmm, werde ich mir wohl merken müssen, dass das Beispiel so geht..
Aber auch das andere Beispiel, bei dem ich nicht wusste, wie ich ableiten sollte, ging anders als die anderen..
Das herausgeschnittene Stück hat die Länge x. Da an jeder Ecke ein Stück herausgeschnitten wird, ist die Länge der Seite der Schachtel 18-2x. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Fläche (18-2x)^2. Das Stück, das nach oben geklappt wird, hat die Breite x. Wenn das nach oben geklappt wird, hat die Schachtel die Höhe x und das Volumen (18-2x)^2 * x. Das ist das Volumen eines Quaders. Das mußt Du ausmultiplizieren und die erste Ableitung bilden. Diese setzt Du = 0. Dann erhältst Du zwei Werte. Der richtige ist der, bei dem die zweite Ableitung kleiner 0 ist.
Im Internet steht aber, dass das Volumen eines Quaders = abc ist.
Das ist schon richtig, aber in diesem Fall ist die Grünfläche quadratisch und a=b. Und a ist 18-2x und c ist die Höhe x
Das Volumen eines Quaders (Schachtel) ist Länge * Breite * Höhe. Wenn man die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet, ist es a * b * c. Die Buchstaben sind nur Platzhalter (Variablen) und können beliebig gewählt werden. In unserem Fall ist die Grundfläche quadratisch, dh Länge = Breite. Und diese haben den Wert (18-x), dh a = (18-2x) und b =(18-2x). Die Höhe des Quaders ist in unserem Fall x, dh c =x. Das Volumen hat dann den Wert (18-2x) * (18-2x) * x oder kürzer (18-2x)^2 * x.
Alle deine Aussagen waren richtig. Im Prinzip hast du es verstanden, deswegen bekommst du von mir nur noch die Antwort auf deine letzte Frage:
Wenn du den ausgeschnittenen Karton zu der Schachtel faltest ist die Seitenlänge der abgeschnittenen Quadrate genau die Höhe des Kartons. Diese Seitenlänge ist in deiner Aufgabe als x bezeichnet worden, daher das x in der Lösung.
Im Internet steht aber, dass das Volumen eines Quaders abc ist. :(