Unterschied zwischen Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate?
Es gibt einmal diese Formel: f(x2) - f(x1) / x2 - x1 und dann gibt es noch diese: f(x0 + h) - f(x0) / h . Welche ist jetzt wofür? (Beispiele wären hilfreich)
3 Antworten
Du kannst bei einem Funktionsgraphen 2 Punkte durch eine gerade miteinander verbinden. Die Steigung dieser Gerade entspricht der mittleren Änderungsrate, also deiner ersten Formel. Die 2. Formel ist so nicht ganz vollständig, es fehlt lim h->0. Anschaulich gesehen betrachtest du die mittlere Änderungsrate zwischen dem Punkt an der Stelle x und dem Punkt an der Stelle x+h. Nun nimmt man den Grenzwert, sodass sich x+h immer mehr dem x annähert. Das Ergebnis ist die Steigung an der Stelle x. Dies würde der Steigung der Tangente (Gerade, welche den Funktionsgraphen nur berührt, nicht schneidet) an der Stelle x entsprechen.
Gleichwertig: x2 - x1 = h.
Welche ist jetzt wofür?
Zur Grenzwertbestimmung ist es hilfreich, den Nenner zu kürzen. Das ist mal mit der einen, mal mit der anderen Formel besser zu machen...
Mal abgesehen davon, dass du in beiden FOrmeln wichtige Klammern weggelassen hast, arbeitet die eine Formel einfach mit zwei x-Werten und die andere eben mit einem x-Wert und der Schrittweite (in x-Richtung) zum anderen Punkt. Sonst ist das dasselbe.