Unter welchen Winkel schneidet f die Gerade x=3?

3 Antworten

Hallo bienchen1000001

Vermutlich ist die Funktion  f(x) = (1/4)x^4 - x²  gegeben.

Deren Ableitung ist  f'(x) = x³ - 2x. Die Steigung von f(x) im Schnittpunkt S mit der Geraden  x = 3  ist gleich  f'(3) = 3³ - 2*3 = 27 - 6 = 21. Das ist korrekt berechnet.

Jetzt Vorsicht! Die berechnete Steigung 21 ist der Tangens des Winkels alpha, den die Tangente (an f(x) im Punkt S) mit der x-Achse bildet. Wenn man also im Punkt S an den Graphen von f(x) eine Tangente zeichnet und diese bis zur x-Achse herunter verlängert (Schnittpunkt sei T), so sieht man dort den  Winkel alpha. Für diesen Winkel alpha gilt: tan(alpha) = 21.
Daraus folgt:  alpha = arctan(21) = 87,2737°.

Aber! Das ist nicht der gesuchte Winkel mit der Geraden  x = 3. Diese steht nämlich senkrecht auf der x-Achse. Ihr Fußpunkt auf der x-Achse sei F(3I0).
Die Punkte T, F und S bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem der Winkel alpha bei T bereits berechnet wurde, nämlich alpha = 87,2737°.
Gesucht ist aber der Winkel beta bei S, den dort die Gerade x=3 mit f(x) bildet. Dieser Winkel beta errechnet sich aus dem rechtwinkligen Dreieck zu
beta = 90° - alpha = 90° - 87,2737° = 2,7263°..

Es grüßt HEWKLDOe.

also der y-Wert des Schnittpunkts ist 3

Folglich gilt 1/4 x^4 - x² -3 = 0

Substitution

1/4 z²-z-3=0

z²-4z-12= 0

z1/2 = 2 +/- Wurzel aus 16

z1/2 = 6 und -2

x also Wurzel 6 und minus wurzel 6

der Schnittwinkel ist bei beiden Schnittpunkten gleich, da der Graph achsenysmmetrisch zur y-Achse ist.

Jetzt die Ableitung

f'(x) = x³-2x

dann nur noch wuzel aus 3 für x einsetzen und du hast die steigung im Schnittpunkt. Das ist -0,464

Dies ist im Steigungsdreieck Gegenkathete durch Ankathete, also der Tangens des gesuchten Winkels. Mit tan^-1 kommst du auf den Schnittwinkel, der beträgt 24,9°


Die Umkehrfunktion des Tangens ist der Arcustangens.

Dann musst du noch überlegen, welchen Winkel du da gerade bestimmt hast.

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