Ungleichung mit x^2 auf beiden seiten?
-3 auf beiden Seiten und danach... Wurzel ziehen?
Wie sähe aber die Wurzel von 2x^2 bzw 3x aus?
Ich weiß nur das x^2 dann zu x wird.
Geht es darum aus dieser Ungleichung eine Ungleichung zu mach in der nach x gelöst ist?
ja genau
7 Antworten
du löst die Gleichung zB mit der pq-Formel
x²-3x+2=0
x1 = 2
x2 = 1
jetzt musst du noch wegen <= 0 also wegen der Ungleichung gucken, welches das Lösungsintervall ist.
Entweder
-unendlich bis 1
oder
1 bis 2
oder
2 bis unendlich.
Dafür nimmst du dir eine Zahl aus den 3 Bereichen und prüfst, ob > oder < 0 rauskommt;
Als Lösung bekommst du dann
Intervall
1 bis 2
Auf beiden Seiten -x²-3, dann steht x²-3x+2 <= 0 da.
Aus einer Summe kannst du nicht so einfach die Wurzel ziehen. Aber das musst du hier doch gar nicht, du bringst auch das Quadrat einfach auf die andere Seite und schon hast du eine ganz normale quadratische Ungleichung.
x^2 - 3x + 2 <= 0
Quadratische Ergänzung, dann Wurzel ziehen sollte funktionieren.
Noch einfacher: x²-3x+2=(x-1)*(x-2). Jetzt lassen sich die Nullstellen direkt ablesen.
Man muss aber auch erst mal darauf kommen bzw. einen quadratischen Term faktorisiert man ja, indem man die Nullstellen berechnet.
Bei so einfachen Termen überlegt man einfach, welche beiden Faktoren der Zahl ohne x als Summe die Zahl vor dem x ergeben, wie es der Satz von Vieta besagt. Mit ein wenig Übung geht das schneller als mit der pq-Formel.
Wurzel ziehen ist bei Ungleichungen im Allgemeinen nur eine Äquivalenzrelation, wenn die Zahl, die quadriert wird größer/gleich 0 ist. Denn es gilt zwar
aber die Rückrichtung gilt nicht uneingeschränkt (sondern eben nur für nicht-negative x). Für x = -2 und x = 1 gilt etwa die rechte Seite der Implikation, nicht aber die linke.
Hier muss man für die Lösung deshalb anders verfahren: Nach einer Umformung ergibt sich
und betrachtet man den linken Term anschaulich als Parabel, lösen alle x die Ungleichung, die unter der x-Achse liegen. Berechnet man die Nullstellen 1 und 2, sieht man also (da der Graph wegen positiven Öffnungsfaktor eine nach oben geöffnete Parabel ist), dass genau die x mit
die Ungleichung lösen. So kann man bei quadratischen Ungleichungen immer verfahren.
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