Warum verändert sich bei der Ungleichung das Rechenzeichen, wenn man von beiden Seiten den Kehrwert bildet?

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4 Antworten

Das Wichtigste, was man hier beachten muss, hat ohwehohach schon genannt: beide Seiten müssen dasselbe Vorzeichen haben. Nehmen wir der Einfachheit halber mal an, beide Seiten seien positiv.

Am einfachsten macht man sich das klar, indem man beide Seiten der Ungleichung mit den Kehrwerten multipliziert. (a, b, c, d seien positive ganze Zahlen ungleich 0):

a / b < c / d     | * b * d

a * d < c * b      | / a / c

d / c < b / a

Hier stehen jeweils die Kehrwerte der Ausdrücke der Ausgangsgleichung, aber jeweils auf der anderen Seite.

Dass sich die Ungleichung mit umdreht, wenn man die Seiten vertauscht, sollte offensichtlich sein.

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Der Kehrwert funktioniert so gesehen umgekehrt.

Hast du einen Bruch x/y, so ist dieser umso größer, umso größer der Zähler x ist. Bildest du davon den Kehrwert y/x, so ist dieser Bruch umso größer, umso größer der neue Zähler y, also der alte Nenner ist.

Du merkst dir:
Zähler wird größer Gesamter Bruch wird größerZähler wird kleiner Gesamter Bruch wird kleiner

Jetzt können wir das ganze Spiel auch noch umdrehen und mit dem Nenner machen. Was passiert, wenn wir den Nenner vergrößern? Von 1/2 auf 1/3 auf 1/4 auf 1/5. Was passiert mit dem gesamten Bruch? Er wird kleiner. Also gilt wir den Nenner genau das Gegenteil.

Nenner wird größer Gesamter Bruch wird kleiner
Nenner wird kleiner Gesamter Bruch wird größer

Und da bei einer Kehrwertbildung der Nenner in den Zähler und der Zähler in den Nenner wandert, wird ein großer Bruch mit einem großen Zähler zu einem kleinen Bruch mit einem großen Nenner. Ein kleiner Bruch mit einem kleinen Zähler wird dementsprechend zu einem großen Bruch mit einem kleinen Nenner.

Jetzt stell dir vor, wir haben eine Ungleichung mit Brüchen, beispielsweise folgende:

2/3 < 3/2

Der links stehende Bruch ist kleiner als der rechts stehende Bruch, das wird auch durch das Ungleichheitszeichen angedeutet.

Und jetzt bilden wir den Kehrwert - ein kleiner Bruch wird also zu einem großen Bruch und umgekehrt. Dann müssen wir logischerweise auch das Ungleichheitszeichen umdrehen, weil sich die Größen mit verändern. 

Aus Klein wird Groß und aus Groß wird Klein. Also ist der zuvor kleinere Bruch nun größer und der zuvor größere Bruch eben kleiner. Wir müssen also das Ungleichheitszeichen umdrehen. Ganz logisch.

LG Willibergi

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Erstens mal gilt das nur für Ungleichungen, bei denen beide Seiten entweder beide positiv oder beide negativ sind. Ansonsten gilt das nicht!

Und dann kannst Du Dir das an einem ganz einfachen Beispiel mal überlegen:

5 > 3, aber 1/5 < 1/3.

Das ist so, denn wenn der größere Wert in den Nenner wandert, wird der Bruch an sich kleiner.


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Indem du den Kehrwert bildest, "Drehst" du die Ungleichung sozusagen einmal rum. 

x > y  --> y>x 

Kannst du auch verstehen, wenn du versuchst den Kehrwert, durch multiplizieren auf beiden Seiten, aufzulösen.

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