Unendlich viele Stichproben?

Hallo,

im Rahmen von Hypothesentests beschäftigt mich eine Frage, die ich am besten an einem Beispiel verdeutlichen kann.

Stichprobe: Ein 6-seitiger Würfel wird 120-mal geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der gewürfelten Sechsen. Der Erwartungswert beträgt 20; es ist am wahrscheinlichsten 20 Sechsen zu werfen.

Sehr unwahrscheinlich ist es, 120 Sechsen nacheinander zu werfen. Aber: Wenn ich unendlich viele Stichproben betrachte, wäre es dann zulässig zu sagen: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen unendlich vielen Stichproben eine ist, bei der 120 Sechsen gewürfelt wurden, beträgt 100%. Oder wenigstens: geht gegen 100%?

Vielen Dank für Eure Rückmeldungen!

Klaus

Answer 1

[mihisu]

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen unendlich vielen Stichproben eine ist, bei der 120 Sechsen gewürfelt wurden, beträgt 100%. Oder wenigstens: geht gegen 100%?

Ja, das ist richtig. (Zumindest wenn mit „eine“ hier „mindestens eine“ Stichprobe gemeint ist. Die Wahrscheinlichkeit für „genau eine Stichprobe“ mit 120 Sechsen nähert sich hingen 0.)

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Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer betrachteten Stichprobe 120 Sechsen gewürfelt werden, beträgt...

$P(X=120)=\left(\frac{1}{6}\right)^{120}$

Wenn man nun n voneinander unabhängige Stichproben mit jeweils 120 Würfelwürfen betrachtet, und die Zufallsvariable Y die Anzahl der Stichproben mit 120 Sechsen beschreibt, so ist...

$P(Y\geq 1)=1-P(Y=0)=1-\left(1-\left(\frac{1}{6}\right)^{120}\right)^{n}\xrightarrow{n\to \infty }1-0=1$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Stichprobe mit 120 Sechsen konvergiert also gegen 1 (bzw. 100 %), wenn der Stichprobenumfang n gegen unendlich geht.

Comments

[Klaus4001]

Danke für die mathematisch fundierte Antwort! :-)

Answer 2

[AusMeinemAlltag]

Ja, bei unendlich vielen Ereignissen werden auch die unwahrscheinlichsten Ereignisse irgendwann passieren.

Answer 3

[PWolff]

Ja, die Wahrscheinlichkeit beträgt exakt 100%.

Bzw. der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit "mindestens eine der Stichproben hat 120 Sechsen" geht für "Anzahl der Stichproben gegen unendlich" gegen 1.

Ebenso, wie die Wahrscheinlichkeit, dass bei N Würfen mit einem Würfel irgendwann eine 6 fällt, gegen 1 geht.

(Das heißt aber nicht, dass das Ereignis "sicher" ist - es ist nur "fast sicher".)