Umkehrfuntionen mit Ableitung?

Guten Morgen,

ich bin gerade am Bearbeiten von Aufgaben, eine davon lautet "Zeigen Sie mithilfe dee Ableitungsfunktion, dass f umkehrbar ist"

Meine frage: wie macht man das mithilfe der ableitung?

Schonmal danke im voraus

Answer 1

[sportfreak2112]

Umkehrbarkeit. Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind. ... Wenn das Kriterium überprüft wurde, kann die Umkehrfunktion gezeichnet werden, indem man die Funktion an der Winkelhalbierenden y = x spiegelt.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Vertrauensschülerin

Comments

[IxxxNIKITAxxxI]

Aber wie macht man das mithilfe von f'(x)

[sportfreak2112]

@IxxxNIKITAxxxI Ableitung der Umkehrfunktion

Anhand von zwei wirklich typischen Beispielen möchte ich euch gleich die Ableitung der Umkehrfunktion zeigen. Zunächst jedoch die allgemeine Gleichung und einen Plan zur Vorgehensweise.

Gleichung Ableitung Umkehrfunktion:

Liegt eine umkehrbare Funktion der Form y = f(x) vor und ist zugleich x = g(y) die nach x umgeformte Darstellung dieser Funktion dann gilt:

Der Nenner - also f'(x) - darf hier natürlich nicht Null werden. Darüber hinaus muss - wie bereits weiter oben geschrieben - die Funktion überhaupt umkehrbar sein.

Allgemeine Vorgehensweise:

1. Wir schreiben uns y = f(x) auf
2. Wir leiten f(x) ab und erhalten y' = f'(x)
3. Wir stellen f(x) nach x um
4. Wir setzen in die Gleichung f'(x) ein
5. Wir ersetzen den Ausdruck von f'(x) durch y
6. Wir vertauschen x und y

Mehr finde ich im Internet nicht