Trigonometrische Äquivalenz?

Die Frage im Buch lautet:

zeige, dass:

d(arcsec u/dx = (1/wurzel von u^2(u^2-1))*du/dx

Wie komme ich zum Ergebnis ?

Besten Dank für Ihre Antworten.

Usmi

Comments

[Halbrecht]

welches Buch ? aus der DDR ?

[usmi49]

nein, amirikanisches Mathebuch aus den 70 ger !

Answer 1

[LUKEars]

also das da leuchtet sofort ein:

$\sqrt{u^2\cdot(u^2-1)} = |u|\cdot\sqrt{u^2-1}$ oder? Wurzel(x) ist ja immer die positive Lösung y von y²=x... und folgende Potenzrechenregel: $(a\cdot b)^c = a^c\cdot b^c$

der Rest folgt aus der Definition des Arcsekans... oder?

sagt ChatGPT... 😂

und WP auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Arkussekans_und_Arkuskosekans#Ableitungen

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Comments

[usmi49]

Danke LUKEars für deine Antwort, aber da fehlt noch das du/dx.

Das Buch verlangt die Entwicklung, um von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite zu kommen.

Bsp.: bei der Aufgabe

"zeige, dass d(arccot u)/dx = - 1/(1+u^2)*du/dx "

habe ich es folgendermassen geschaft (es stimmt überein mit der Lösung im Buch):

u = cot y daher du/dx = - csc^2 y*dy/dx und dy/dx = -1/csc^2 y*du/dx

oder - 1/ (1 + cot^2 y)*du/dx also ergibt sich d(arccot u)/dx = - 1/(1 + u^2)*du/dx

Bei d(arcsec u)/dx habe ich es noch nicht geschaft.

Wenn ich d(arcsec u)/dx rechne bekomme ich 1/ (Wurzel aus (1 - 1/u^2 )* u^2

und umgeschrieben 1/ Wurzel aus u^2 - 1 | u | , aber es fehlt das du/dx!

Übrigens wie komme ich in diesem Forum zum Wurzelzeichen?

[LUKEars]

@usmi49

oh ok... das u ist dann wohl u(x)? das sieht doch nach Kettenregel aus... oder?

also d[f(u(x))]/dx = f'(u(x))·u'(x)

[usmi49]

@LUKEars

Ja genau ! Aber ich suche den Rechenweg wie im obigen Bsp.

[usmi49]

@usmi49

Ich habe folgendes versucht:

u = sec y, daher du/dx gibt d(sec y)/dx, also sec y tan y *dy/dx und

dy/dx = 1/sec y tan y * du/dx, jetzt müsste ich von 1/sec y tan y auf 1/ wurzel aus

(u^2-1) |u| kommen.

[LUKEars]

@usmi49

ich weiß nich, was du da machst... in deiner Frage wäre f(·) dieser Arcsec(·) und u ist einfach u(x)

also: steht da die Ableitung von Arcsec(·) mit u(x) an der Stelle vom „u“ in meiner Antwort... und am Ende noch u'(x) und das ist ja gerade „du(x)/dx“... oder?

ohne Kettenregel geht's nich...

[usmi49]

@usmi49

Ich hab's, habe genau die Kettenregel angewandt wie du oben erwähnt hast und bin zum Ergebnis gekommen. d(arcsec(u(x))/dx gibt

u'(x)/Wurzel aus (u^2(x) - 1 |u(x)|

Danke vielmal

[LUKEars]

@usmi49

soopa... 😋

aber jetzt fehlt das (du/dx)... hast es wohl nur vergessea... oder?