Trigonometrie?

Ich brauche bei diesem Beispiel also bei Buchstabe (b) eine Hilfe. Bei dieser Aufgabe tue ich mir wirklich schwer.
Könnt ihr mir bitte erklären mit einer beschrifteten Skizze?

Answer 1

[mihisu]

Die beschriftete Skizze sollte hier noch das Einfachste sein.
[Und die Skizze hilft auch bei der Orientierung und zur Klärung der verwendeten Kurzbezeichnungen, sodass ich auch dann empfehlen würde eine Skizze anzufertigen, wenn sie nicht vom Aufgabensteller verlangt wäre.]

Die Länge L ist mit 350 m gegeben.

Die Steigung Δy/Δx ist mit 31,5 % gegeben.
Dabei ist 31,5 % = 0,315.
[Prozent bedeutet im Grunde einfach „Hundertstel“ und 31,5/100 = 0,315.]

Der Steigungswinkel α und der Höhenunterschied Δy sind gesucht.

============

Nach Satz des Pythagoras gilt:

$(*):\quad {\Delta x}^2+{\Delta y}^2=L^2$

Löst man die Steigung nach Δx auf...

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\quad \rightarrow\quad \Delta x=\frac{\Delta y}{m}$

... und setzt das in die Gleichung (*) ein, erhält man eine Gleichung, die neben gegeben Größen (m = 31,5 % und L = 350 m) nur noch Δy als eine gesuchte Größe enthält. Dementsprechend kann man die Gleichung dann nach Δy auflösen.

$\left(\frac{\Delta y}{m}\right)^2+{\Delta y}^2=L^2$

$\rightarrow\quad\frac{{\Delta y}^2}{m^2}+{\Delta y}^2=L^2$

$\rightarrow\quad \frac{{\Delta y}^2}{m^2}+\frac{m^2\cdot {\Delta y}^2}{m^2}=L^2$

$\rightarrow\quad \frac{{\Delta y}^2+m^2\cdot {\Delta y}^2}{m^2}=L^2$

$\rightarrow\quad \frac{\left(1+m^2\right)\cdot {\Delta y}^2}{m^2}=L^2$

$\rightarrow\quad {\Delta y}^2=\frac{m^2\cdot L^2}{1+m^2}$

$\xrightarrow{\Delta y > 0}\quad \Delta y=\sqrt{\frac{m^2\cdot L^2}{1+m^2}}$

$\xrightarrow{m > 0\text{ und }L>0}\quad \Delta y=\frac{m\cdot L}{\sqrt{1+m^2}}$

Mit den konkreten Werten erhält man dann...

$\Delta y=\frac{m\cdot L}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{31\text{,}5\,\%\cdot 350\,\text{m}}{\sqrt{1+\left(31\text{,}5\,\%\right)^2}}=\frac{0\text{,}315\cdot 350\,\text{m}}{\sqrt{1+{0\text{,}315}^2}}\approx 105\,\text{m}$

Mit dem Sinus erhält man...

$\sin(\alpha)=\frac{\Delta y}{L}$

Setzt man da nun Δy = (m ⋅ L)/√(1 + m²) ein, kann man die Länge L rauskürzen und erhält...

$\sin(\alpha)=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}$

Im konkreten Fall erhält man...

$\sin\left(\alpha\right)=\frac{0\text{,}315}{\sqrt{1+{0\text{,}315}^2}}\approx 0\text{,}300$

$\rightarrow\quad \alpha\approx 17\text{,}5\degree$

Comments

[Liliiiii417]

Ich danke Ihnen vom Herzen!