Tiefpunkt mit einem Parameter berechnen (Funktionsschar)?

2 Antworten

Ich habe das Gefühl, dass da Klammern fehlen

fc(x) = (1+c)/1500^2 x^3 - cx + 50

fc’(x) = 3* ((1+c)/1500^2) x^2 - c

Für ein lokales Minimum (neuerdings wohl "Tiefpunkt" genannt) muss die erste Ableitung 0 sein.

Wenn man die Nullstelle x0 (in Abhängigkeit von c) kennt, muss man überlegen welche Werte c annehmen darf, damit man beim Berechnen von x0

  • nicht durch 0 dividiert
  • keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen muss
  • Werte zwischen 0 und 1500 erhält

Zur Kontrolle sollten man die zweite Ableitung berechnen. Sie sollte größer als 0 sein. Wenn sie gleich 0 ist, muss man näher hinsehen.

Danke für den Hinweis, die Klammern habe ich beim Errechnen der Extremstelle zum Glück berücksichtigt :)

Kann man den Wert von c nicht rechnerisch berechnen oder beruht das Ganze nur auf Überlegungen?

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@tillyc34

Anhand der von Dir berechneten ersten Ableitungen habe ich ja erst bemerkt, dass Klammern fehlen ;-)

Die Überlegungen sind doch rechnerisch genug. ;-)

Man kann natürlich auch Ungleichungen für c aufstellen: Divisor != 0, Radikand (das was unter dem Wurzelzeichen steht) >= 0 und versuchen, die Ungleichungen zu lösen. Aber das halte ich für übertrieben, denn man sieht das eigentlich auch so.

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@tunik123

ja das wäre sonst viel zu kompliziert, Dankeschön!

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Berechne mal den Tiefpunkt dieser Funktionen f_c. Der Tiefpunkt wird vom Parameter c abhängen. Für welche Werte von c ist die entsprechende Extremstelle dann im vorgesehenen Intervall?

Also als Extremstelle habe ich jetzt x1/2 = +/- Wurzel aus 1500^2c/(3+3c) raus, da aber x nicht negativ sein kann, fällt die zweite Extremstelle weg

Dann habe ich die Fallunterscheidung gemacht und raus bekommen, dass wenn c >= 0 ist, ein Tiefpunkt vorliegt. Wie geht es jetzt weiter?

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@tillyc34

Ohne dass jetzt nachgerechnet zu haben: Wie lautet nun die Funktion, auf der alle diese Tiefpunkte liegen?

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@MitFrage

Das ist ja die Ortskurve oder?

Um die Funktion von ihr zu ermitteln müsste man xe nach c auflösen, was bei mir aber leider nicht funktioniert hat

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@tillyc34

Genau, das wäre die Ortskurve.. Warum kannst du es nicht nach c umstellen?

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@MitFrage

Weil das c innerhalb einer Wurzel steht und ich nicht weiß wie ich das so umstellen kann, dass c alleine steht (x = Wurzel aus 1500^2c/(3+3c))

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@tillyc34

Beide Seiten quadrieren.

x^2 = 1500^2c/(3+3c)

x^2 * (3+3c) = 1500^2c

x^2 * (3+3c)/1500^2 = c

x^2 * 3/1500^2 + 3c/1500^2 = c

x^2 * 3/1500^2 = c - 3c/1500^2

Rechts dann noch zusammenfassen. Oder habe ich einen Fehler gemacht? Du musst vorher noch sicherstellen, dass c nicht -1 ist, ansonsten würdest du durch 0 teilen.

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@MitFrage

Danke!! Für c habe ich c=2,99996x^2 (bzw. c = 3x^2) raus

Jetzt sitze ich schon seit mehr als einer Stunde daran die Funktion der Ortskurve zu bestimmten und komme an kein Ergebnis :(

fc (x) = (1+c)/1500^2 * x^3 - cx + 500

xe = Wurzel 1500^2c/(3+3c)

ye = (1+c)/1500^2 * (Wurzel 1500^2c/(3+3c))^3 - c* (Wurzel 1500^2c/(3+3c)) + 500

(x in fc(x) eingesetzt)

y = (1+3x^2)/1500^2 * (Wurzel 1500^2*3x^2/(3+3*3x^2))^3 - 3x^2 (Wurzel 1500^2*3x^2/(3+3*3x^2)) + 500

(c eingesetzt)

y^2 = (1+3x^2+3x^4)/1500^4 * (1500^2 * 3x^2/(3+9x^2))^6 - 9x^4 * (1500^2 * 3x^2/(3+9x^2)) + 500^2

(Gleichung quadriert um die Wurzel weg zu bekommen)

Habe ich da was falsch gemacht?

Ich hoffe es ist nicht zu unübersichtlich geworden😅

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@tillyc34

Ich habe leider auch nicht ganz im Kopf, wie genau man nun auf die Ortskurve kommt. Ist das y am Ende schon die Ortskurve?

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@MitFrage

jaa das y sollte am Ende die Funktion der Ortskurve sein

Gehen wir mal davon aus wir hätten die Ortskurve, was würde man danach machen?

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@tillyc34

Für d) war es doch ausreichend, die Tiefpunkte in dem Intervall zu berechnen, oder? Also die c-Werte bestimmen, für die ein Tiefpunkt in diesem Intervall liegt.

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@MitFrage

Achso ja klar

Mithilfe der Ortskurve könnte man diese Tiefpunkte dann bestimmen oder?

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@MitFrage

Ah stimmt ja. Danke nochmal sehr für Ihre Hilfe :) Ich glaub ich hab’s verstanden

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