Funktionsschaaren HILFE đ
Die Frage: Ein runder Springbrunnen enthĂ€lt mehrere, im Kreis um die Mitte angeordnete schrĂ€ge FontĂ€nen. Wir modellieren eine der FontĂ€nen (fĂŒr die anderen gilt wegen der Symmetrie das Gleiche) durch die Funktionsschar fc mit fc=ax^2 +(5-2a)x + (a-5). Dabei hĂ€ngt der Parameter a vom Wasserdruck ab. Alle Einheiten sind Meter.
a) Wie weit von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die FontÀne aus dem Brunnen? (Nullstellen berechnen kann ich eigentlich nur klappts irgendwie nicht) b) Welchen Winkel bilder das Rohr zur Horizontalen? c) Der Rand des Brunnens ist 7m von der Mitte entfernt. i) In welchem Bereich darf sich a bewegen, damit das Wasser maximal 6m von der Brunnenmitte entfernt wieder landet? ii) Wie hoch ist die FontÀne dann? d) Entlang welcher Kurve bewegt sich das Maximum der FontÀne, wenn man das Wasser langsam aufdreht?
Danke fĂŒr alle Antworten! Ich verzweifle!
2 Antworten
f(x) =ax^2 +(5-2a)x + (a-5).
a) Wie weit von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die FontÀne aus dem Brunnen?
axÂČ +(5-2a)x + (a-5) = 0
x = 1 und x = 1 - 5/a
b) Welchen Winkel bilder das Rohr zur Horizontalen?
f'a (x) = 2ax + 5 - 2a
f' (x = 1) = 2a + 5 - 2a = 5
Der Anstieg m an der Stelle 1m entspricht der Ortsableitung sowie den Tangens des Steigungswinkels α
m = f Ža(x = 1) = tan(α) = > tan(α) = 5 => α = 78,7°
c) Der Rand des Brunnens ist 7m von der Mitte entfernt.
Maximal 6 m entfernt von Mitte: fa(x = 6) = 0
i) In welchem Bereich darf sich a bewegen, damit das Wasser maximal 6m von der Brunnenmitte entfernt wieder landet?
f (x = 6) = 36a +(5-2a)6 + (a-5) = 0 =>36a +30 -12a + a - 5 = 0 => a = -1
FĂŒr -1 < a < 0 wird die nach unten geöffnete Parabel breiter => keine Lösung
Wegen der Parabelform (nach unten geöffnet) gibt es keine Lösungen wo q positiv ist.
FĂŒr a †-1 wird die Parabel schmaler und alle Parabeln haben die Nullstelle 1
ii) Wie hoch ist die FontÀne dann?
f (x) = -x ^2 (5+2)x + (-1-5) = -x ^2 + 7x - 6
Ableitung bilden: fÂŽ - 1 (x) = -2x + 7
Nullsetzen: -2x + 7 = 0 -> x = 7/2 (2. Ableitung bilden wg. tief oder hochpunkt f'' = -2 < 0 => Hochpunkt)
x einsetzten in Gleichung: f -1 (7/2) = -(7/2)^2 + 7*7/2 - 6 = 25/4
Höhe ist 6,25 m
d) Entlang welcher Kurve bewegt sich das Maximum der FontÀne, wenn man das Wasser langsam aufdreht?
1. Ableitung von f(x) bilden
f' (x) = 2ax - 2a + 5
Nullsetzen: 2ax - 2a + 5 = 0 => x = (2a - 5)/(2a) = 1 - 5/(2a)
In f (x) einsetzen: f (x) =1 - 5/(2a)) = -25/(4a) -> allg. Max (1 - 5/(2a), -25/(4a))
Max x = 1 - 5/(2a)
Nach a auflösen a = 5/(2 - 2x) in y von Max einsetzen y = 25/(4*5/(2-2x)) = (5/2)*x - 5/2 = (5/2)*(x - 1)
a) Die Nullstellen sind x = 1 und x = 1 - 5/a
b) f '(1) = 5, also tan Ă = 5
c) 1 - 5/a < 6 also a < - 1
d) f '(x) = 0 setzen.
Vielllen viiielen Dank! Aber ich brÀuchte Zwischenschritte...