Textaufgabe Quadrtische Gleichungen?
Hallo, ich habe zu morgen in Mathe eine Präsentation und ich muss vor der Klasse eine Aufgabe lösen, ich verstehe sie aber nicht.
Die Aufgabe lautet: für eine Klassenfahrt stehen einer neunten Klasse 472,50 € zur Verfügung da zwei Schilder nicht an der Fahrt teilnehmen können erhöht sich der für jeden Schüler bereits stehende Betrag um 1,40 € wie viele Schüler besuchen diese neunte Klasse ?
5 Antworten
Hallo Lillymaus1501,
es geht um die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten. Die Gleichungen lauten mit n als der Anzahl der Schüler in der Klasse und B als dem je Schüler bereitstehenden Betrag für die Klassenfahrt:
B = 472,50 € / n und 472,50 € / (n - 2) = B + 1,40 €
Lösung: B in die zweite Gleichung einsetzen, Gleichung 2 zusammenfassen ergibt eine quadratische Gleichung, die mit der p,q-Formel lösbar ist.
n = 27 gehören zur Klasse.
Gruß von leiermann
MERKE : Für jede Unbekante braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
AUSNAHME : Wenn 3 Unbekannte vorkommen mit 2 Gleichungen.Durch gleichsetzen fällt dann 1 Unbekannte heraus und wenn man Glück hat, dann kürzt sich noch eine zweite Unbekannte heraus. Das iast aber nur im Ausnahmefall möglich.
Bei dieser Aufagbe ergeben sich 2 Unbekannte und 2 Gleichungen,also lösbar !
1. a * x=472,5
2. (a+1,40) *(x-2)=472,5 x ist die Anzehl der Schüler und a ist der Beitrag
3. (a+1,4)*(x-2)=a*x+1,4*x-2*a-2,8=472,5
Wir können nun zwischen Variablen a und x wählen.Wir wählen die Variable a,weil diese jeden Wert annehmen darf,während x nur ganzzahlig ist.
aus 1. x=472,5/x in 3. ergibt
4. a/a * 472,5 +1,4*472,5/a - 2*a - 2,8=472,5 ergibt
5. 661,5/a - 2*a - 2,8 = 0 multipliziert mit a
6. 0= - 2*a^2 - 2,8 *a + 661,5 Nullstellen bei a1=-18,9 und a2=17,5
hab ich mit meinen Graphikrechner(Casio) ermittelt.
Wir wählen a=a2=17,5 Euro als Beitrag,weil ein "negativer" Beitrag nicht möglich ist.
in 1. 17,5 Euro * x=472,5 ergibt x=472,5Euro/17,5 Euro=27 Schüler
In "Handarbeit" muss man Gleichung 6. mit der p-q-Formel lösen siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Gleichung" mit einer Variable.
o=x^2 + p*x+q Normalform der "quadratischen Gleichung"
0=- 2 *a^2 - 2,8*a +661,5 dividiert durch -2 ergibt
0=a^2+ 1,4 *a - 330,75 mit a1,2=- p/2 +/-Wurzel((p/2)^2 - q))
mit p=1,4 und q=330,75
a1,2= - (1,4)/2 +/- Wurzel( (1,4/2)^2 -(-330,75)) =-0,75 +/- 18,2
a1=-0,75 +18,2=17,45 beachte die Rundungsfehler
a2= - 0,75 - 18,2 = - 18,95
HINWEIS : Wurzeln haben immer 2 Lösungen. Beispiel : Wur(25)=+/- 5
(+5)*(+5)=25 und (-5)*(-5)=25
HINWEIS : Gleichung 5. und 6. haben die gleichen "Nullstellen",aber der Kurvenverlauf ist unterschiedlich !
zeichne beide Kurven (5. und 6.) und notiere das Ergebnis
TIPP : Besorge dir privat einen Graphikrechner (GTR),sonst kannst´e gleich einpacken.
Sei a die Anzahl der Schüler in der Klasse.
Normalerweise teilen sich die a Schüler den Preis von 472,50€ gleichmäßig auf.
Wenn sich nun a - 2 Schüler den Preis teilen, muss jeder 1,40€ mehr zahlen. Also müssen die zwei fehlenden Schüler zusammen (a - 2)*1,4 Euro zahlen, da die ganze Klasse insgesamt (a - 2)*1,4 Euro mehr zahlen müssen (2 Schüler weniger, aber 1,40€ mehr pro Schüler).
Ein Schüler musste also vorher ((a - 2) * 1,4)/2 Euro zahlen.
Dieser Zahlpreis entspricht 472,50/a, also dem Preis, geteilt durch die vorherige Anzahl der Schüler.
Also:
((a - 2) * 1,4)/2 = 472,5/a | *2
(a - 2) * 1,4 = 945/a | *a
(a - 2) * 1,4a = 945
1,4a² - 2,8a = 945
1,4a² - 2,8a - 945 = 0
Heraus kommt: a = -25 ∨ a = 27
Eine negative Anzahl ergibt in diesen Kontext keinen Sinn, also betrachten wir nur die positive Lösung a = 27.
Es gibt also 27 Schüler in dieser Klasse.
x = Anzahl der Schüler
x-2 = Anzahl der tatsächlich teilnehmenden Schüler
Gesamtkosten: 472,50 Euro
472,50 : x = Kosten pro Schüler wenn alle teilnehmen
Die Kosten für die teilnehmden Schüler kann man auf zwei Arten darstellen:
472,50 : (x-2) = Kosten pro Schüler bei weniger Teilnehmern
Oder mit den Mehrkosten von 1,40 gegenüber dem Fall, wenn alle teilnehmen:
(472,50 : x ) + 1,40 = Kosten por Schüler bei weniger Teilnehmern
Diese beiden Terme für die Kosten pro teilnehmenden Schüler
bei weniger Teilnehmern kannst du gleichsetzen
472,50 : (x-2) = (472,50 : x ) + 1,40
und diese Bruchgleichung dann lösen.
HN: (x-2)*x
D=R\{0; 2}
472,50 : (x-2) = (472,50 : x ) + 1,40 |*HN
472,5*x = 472,5*(x-2) + 1,4*(x-2)*x
Dies ist nun eine quadratische Gleichung
1,40 + (472,50/x) = 472,50/(x-2)
mal Hauptnenner und x berechnen.