Stochastik: was bedeutet P(X=n)?

Hallo,

lerne gerade für meine Klausur. Mein Lehrer meinte, dass das obige Symbol „das Spiel“ ist. Das kann ich aber nicht nachvollziehen. Kann mir das jemand bitte umschreiben? Ich glaube mir fehlt einfach eine richtige Definition, damit ich die Aufgaben besser rechnen kann. So kann ich dann auch mal verstehen, wie man P(X<n) liest.

außerdem: Ich bin in der Q2 NRW auf dem Gymnasium. Vielleicht, weiß ja jemand, was genau ich brauche

Danke im Voraus

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

X ist eine Zufallsvariable und eigentlich eine Funktion, die aus der Ergebnismenge i.d.R. in die reellen Zahlen abbildet, z.B. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, X(ω) = ω², d.h. die gewürfelte Zahl wird quadriert. Dann ist P(X = n) eine Kurzschreibweise für P({ω ∈ Ω: X(ω) = n}).

In dem Beispiel wäre P(X = 4) = P({ω ∈ Ω: ω² = 4}) = P({2}) = 1/6, wenn man von einem fairen Würfel ausgeht, da {ω ∈ Ω: ω² = 4} = {2}. Entsprechend wäre P(X < 16) = P({ω ∈ Ω: ω² < 16}) = P({1, 2, 3}) = 1/2.

Bei zweimaligem Würfeln wäre Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} mit insgesamt 36 Elementen. Wenn X die Augensumme sein soll, könnte man das schreiben als X(ω) = X((ω₁,ω₂)) = ω₁ + ω₂. In dem Fall wäre {ω ∈ Ω: X(ω) = 7} = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} und somit P(X = 7) = P({(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}) = 6/36 = 6.

Also {X = n} ist die Teilmenge von der Ergebnismenge, für die die Zufallsvariable X den Wert n annimt und P(X = n) ist die Wahrscheinlichkeit dieser Teilmenge. Eine Teilmenge von der Ergebnismenge nennt man auch Ereignis.