Steckbriefaufgabe in Mathe?

Ich komme irgendwie immer bis zum Gleichungssystem kann dieses allerdings nie korrekt lösen . (Die Aufgaben sind vom selben Arbeitsblatt wie in der ersten Frage . 😭)

Answer 1

[Hamburger02]

a)

Ansatz:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

Zuerst setzen wir das ein, wo Nullen vorkommen, weil dann vieles einfach wegfällt:

Hochpunkt bei x = 0:
f'(0) = 3a * 0 + 2b * 0 + c = 0
c = 0

H(0/0):
f(0) = a * 0 + b * 0 + 0 * 0 + d = 0
d = 0

vom Ansatz bleibt damit übrig:
f(x) = ax^3 + bx^2
f'(x) = 3ax^2 + 2bx

Nun verwenden wir den Tiefpunkt:
f(4) = a * 64 + b * 16 = -32
64a + 16b = -32

f'(4) = 3a * 16 + 2b * 4 = 0
48a + 8b = 0

Wir haben nun also 2 Geichungen, die wir lösen müssen:
64a + 16b = -32
48a + 8b = 0

Da gibt es mehrer Möglichkeiten. Da 16 das doppelte von 8 ist, nehmen wir die zweite Gleichung mal 2, lösen dann beide nach 16b auf und setzen sie gleich:
64a + 16b = -32
96a + 16b = 0

16b = -32 - 64a
16b = -96a

-32 - 64a = -96a
-64a + 96a = 32
32a = 32
a = 1

eingesetzt in 16b = -96a:
16b = -96 * 1
b = -6

Damit lautet die Funktion:
f(x) = x^3 - 6x^2

Wertetabelle:

Graph: