Sachaufgaben mit dem GTR in Mathe?
Hallo, Ich brauche Hilfe in der folgenden Aufgabe: Ein Radsportler setzt zur Belastungskontrolle während des Trainings ein Pulsmessgerät ein, das die momentane Herzfrequenz des Sportlers aufzeichnet. Die aus den Graphen der Funktion f mit f(t)= 0,03t^3 -1,5t^2 +21t +80, 0<t<30, dargestellt werden dabei wird die Zeit t in Minuten (min) seit dem Start (t=0) und die Herzfrequenz f(t) in Schlägen pro Minute (S/min) angegeben. (Zur in Information: Für die Maßzahl der maximalen Herzfrequenz eines Mannes gilt ungefähr: 220- Lebensalter) Der Trainer hatte dem Sportler vorgegeben, nach einer Einstiegszeit von 5 Minuten seine Herzfrequenz f(t) während des restlichen Trainingsabschnitts zwischen 130 S/min und 180 S/min zu halten.
Untersuche einmal rechnerisch und graphisch, ob die Vorgabe des Trainers eingehalten wurde.
Also ich hätte die 5 und 30 Minuten in die Formel eingesetzt und geguckt ob das passt. Aber es kann ja sein das der Sportler in der Minute 5,5 nicht die Vorgabe einhält. Also wäre diese Rechenweise viel zu umständlich und weiß leider nicht wie ich es sonst rechnerisch bearbeiten soll. Ich brauche dringend Hilfe. Danke im voraus.
2 Antworten
Hallo,
du kannst die geforderte "Untersuchung" als Ungleichung formulieren, und dann auf eine Form umformen, welche ersichtlich macht ob die Ungleichung erfüllt wird oder nicht.
also
1.) f(t) > 130 für alle t >5 und t<30
2.) f(t) < 180 für alle t >5 und t<30
Im Fall 1.)
Würde ich so lösen: f(t) > 130
-> f(t)-130 > 0
Also suchst du im Bereich von [5,30] Nullstellen dieser Funktion f*(t) = f(t)-130. Wenn dort keine Nullstellen zu finden sind, weisst du, dass die Werte entweder immer über oder unter der Grenze sind. Jetzt musst du nur noch einen Wert einsetzen um zu sagen ob sie drüber oder drunter sind.
Im Fall2.) machst du das genau gleich nur mit den jeweils anderen Grenzen...
Klar soweit?
Graphisch :
Mit dem GTR-Taschenrechner die Funktion f(t) zeichnen lassen, von 0 < t < 30 und schauen, ob f(t) für 5 <= t < 30 zwischen 130 und 180 bleibt.
Rechnerisch :
f(t) = 0.03 * t ^ 3 - 1.5 * t ^ 2 + 21 * t + 80
Zwei mal ableiten :
f´(t) = 0.09 * t ^ 2 - 3 * t + 21
f´´(t) = 0.18 * t - 3
Nun die Nullstellen der 1-ten Ableitung bestimmen.
0.09 * t ^ 2 - 3 * t + 21 = 0
Das geht entweder mit der abc-Formel oder mit der pq-Formel, danach kann man googeln.
Die Nullstellen der ersten Ableitung liegen bei :
t _ 1 = 10
und
t _ 2 = 23 + 1 / 3
Nun diese Nullstellen jeweils in die zweite Ableitung einsetzen :
f´´(10) = 0.18 * 10 - 3 = - 1.2
f´´(23+1/3) = + 1.2
Da f´´(10) < 0 ist, handelt es sich um ein Maximum
Da f´´(23+1/3) > 0 ist, handelt es sich um ein Minimum.
Nun setzt du die Werte 10 sowie 23+1/3 noch in die Originalfunktion ein :
f(10) = 170
f(23+1/3) = 134 + 4 / 9
Nun musst du noch f(5) und f(30) ausrechnen :
f(5) = 151 + 1 / 4
f(30) = 170
Interpretation :
Die Funktion f(t) fängt bei t = 5 mit dem Wert f(5) = 151 +1 / 4 an, steigt bis zum Maximum bei t = 10 auf f(10) = 170 an, sinkt dann wieder bis t = 23 + 1 / 3 bis zu dem Wert f(23+1/3) = 134 + 4 / 9 ab, und steigt dann bis t < 30 auf < 170 an.
Die Vorgabe des Trainers wird also eingehalten.