Rekursiv definierte Folge?

Hallo erstmal an alle. Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.Kann mir jemand hier weiterhelfen? Man sollte zunächst eine Vermutung aufstellen in der aufgabe und diese beweisen. Vielen Dank im Vorraus

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2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

eterneladam

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

15.11.2023, 06:26

Die Vermutung hast du ja schon, wie ich deinem Kommentar zur Antwort von Mathmaninoff entnehmen kann. Nun gilt es, das mit vollständiger Induktion zu beweisen.

CELINE493

Fragesteller

15.11.2023, 08:55

Als ich kam jz darauf das die Behauptung 2^n-2 heißen muss damit beim Induktionsanfang bei f(2)=1 rauskommt. BIn ich richtig?

eterneladam

15.11.2023, 15:40

@CELINE493

a(1)=1, a(n+1)= 2^(n-2) für n>1

Das zeigst du durch Induktion

Mathmaninoff, UserMod Light

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

14.11.2023, 22:36

Berechne mal die ersten Folgenglieder.

a_1 = 1

a_2 = a_1

a_3 = a_1 + a_2

a_4 = a_1 + a_2 + a_3

CELINE493

Fragesteller

14.11.2023, 23:07

Also vermutung wäre dann doch das alle beliebigen n aus N was mit 2^n zu tun hat ...aber wie würdest du des formal richtig aufschreiben? Und wie würdest du des ganze beweisen?

Mathmaninoff, UserMod Light

14.11.2023, 23:16

@CELINE493

a_1 = 1
a_n = 2^{n-1} für n >= 2

Dann vielleicht vollständige Induktion.

Allgemein kann man die Formel für die geometrische Summe mit folgendem Ansatz herleiten:

(x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + ... + x^n)(x - 1) = x^(n+1) - 1

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new String[]{
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "S               D",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
    "                 ",
}

Es wird per Aufgabe zugesichert, dass der Weg maximal 65535 schritte lang ist. Das springt sofort ins Auge, weil unsigned short so groß ist. Dies würde meine Theorie bestätigen wenn man eine unsigned short matrix nehmen würde zum tracken der besuchten Zellen.

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