rechts- und linkssseitigen Grenzwert?
Berechnen Sie für die folgenden Funktionen jeweils den rechts- und linksseitigen Grenzwert, sofern sie existieren, an der gegebenen Stelle
Grenzwert x → 1 für die Funktion f(x) := ((x + 1)x(x − 1)) / (x − 1) , x ∈ R \ 1
ich checke es einfach nicht, was muss ich da machen
2 Antworten
In diesem Fall hast Du in Zähler und Nenner jeweils den Faktor (x-1), d. h. Du kannst diesen Faktor rauskürzen, hast keinen Bruch mehr und kannst somit problemlos x Richtung 1 laufen lassen, also einfach x=1 in den übrig gebliebenen Term einsetzen.
Nur so am Rande: Dass Du hier die Definitionslücke "wegkürzen" kannst bedeutet, dass die Funktion bei x=1 eine (be-)hebbare Definitionslücke hat, d. h. für den Graphen, dass dieser von links und rechts auf einen bestimmten Punkt zuläuft und halt nur an diesem einen Punkt nicht definiert ist. Würde man diesen "Extrapunkt" als Punkt der Funktion definieren, dann wäre die Funktion dort stetig...
Perfekt, durch Erweiterung mit (1+√x) kannst Du (1-x) kürzen und dann wieder problemlos x=1 einsetzen.
Nur wieso x≥0 und x nicht gleich Null, das widerspricht sich; x=0 ist kein Problem, negative x sind wegen √x nicht definiert, daher die Einschränkung x≥0.
Du hast, wenn du x=1 einsetzt, den Term 0/0. Das ist eine hebbare Definitionslücke. Tritt das auf, dann werden links und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein. Du findest den durch Umformen heraus. Kürze (x-1) und setze 1 ein. Dein Ergebnis ist 2. Fertig.
gilt es ebenso für die Funktion
Grenzwert x → 1 für h(x) := (1 − √ x) / (1 − x) , mit x ≥ 0 und x nicht gleich Null?
ich habe überlegt die 3. binomische Formel zu verwenden, dann bekommt man h(x) = 1 / 1 + sqrt(x)