Rätsel mit Primzahlen als Summe
In ein Quadrat (wie beim Sudoku) mit 3 x 3 Feldern sollen die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8 so eingetragen werden, dass die Zeilensummen, Spaltensummen und Summe der Diagonalen immer Primzahlen ergeben.
Ich sitze nun schon seit längerem über diesem Rätsel und finde keine Lösung. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe/r yukonkatie ,
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Klaus vom gutefrage.net-Support
4 Antworten
Was macht der Mathematiker als erstes? Schauen, ob es überhaupt eine Lösung geben kann. Betrachten wir also die Zeilensummen und nehmen an, das wären drei Primzahlen.
Jede der drei Zeilensummen soll eine Primzahl sein.
Die kleinste Zeilensumme, die überhaupt vorkommen kann, ist 3 (0+1+2).
Alle Primzahlen größer oder gleich 3 sind ungerade. Also sind alle drei Zeilensummen ungerade. Addiere ich die Zeilensummen, bekomme ich wiederum eine ungerade Zahl.
Anderseits muss die Summe aus den drei Zeilensummen gerade 0+1+2+3+4+5+6+7+8 sein - denn genau diese Zahlen stehen ja in dem Quadrat drin (und die Reihenfolge des Addierens ist ja egal). Das ist aber 36.
36 ist offenbar gerade - es kann also keine Lösung geben.
(Vielleicht war die Aufgabenstellung ja eine andere?)
Das habe ich schon ganz richtig verstanden. Meine Argumentation ist aber: wenn es eine solche Lösung (Die Summe jeder Zeile für sich genommen ist eine Primzahl, jede Ziffer von 0...8 kommt genau einmal vor) gibt, dann muss die SUMME dieser drei Primzahlen gerade die Summe aller dieser Ziffern sein. D. h. es muss drei Primzahlen geben, die jeweils größer oder gleich 3 sind und in der Summe 36 ergeben. Die gibt es nicht - also gibt es keine Lösung.
Sei also
a b c d e f g h i
so eine Lösung, jeder Buchstabe steht für eine der Ziffern aus 0...8. Jede der Zeilensummen
a + b + c d + e + f g + h + i
ist eine Primzahl.
Die Summe dieser drei Primzahlen ist
a + b + c + d + e + f + g + h + i.
Diese Summe muss aber 36 sein. Und das geht eben nicht.
gemeint ist
a b c
d e f
g h i
ist so eine Lösung, also so eine quadratische Anordnung von Ziffern.
@Annaberg: Du kannst keine Lösung finden. FataMorgana2010 hat im 3. Punkt schon gesagt, warum. Addiere mal drei ungerade Zahlen miteinander. Die Summe ist ungerade. 36 ist gerade. Also funktioniert das Rätsel nicht, zumindest nicht so, wie yukonkatie es hier gestellt hat.
Als ich die Frage gestellt habe, hatte ich das Buch nicht vorliegen, hier der Vollständigkeit halber die offizielle Aufgabenstellung aus dem Buch Elementare Zahlentheorie von Friedhelm Padberg (S. 56):
Notieren Sie ein 3x3-Quadrat aus drei Reihen und drei Spalten. Tragen Sie in die 9 Felder die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8 so ein, dass die drei Zeilensummen, die drei Spaltensummen und die Summen auf beiden Diagonalen jeweils (je nach Spalte oder Diagonale durchaus auch verschiedene) Primzahlen ergeben.
Danke schon mal für die vielen Antworten!!!
Ja, genau. Genau das ist die Aufgabenstellung - und die Antwort ist, es gibt keine Lösung. Das ist in der Mathematik durchaus eine zulässig Antwort.
Wenn ich dir die Aufgabe stellen würde: Finde 3 ungerade Zahlen, deren Summe 36 ist - wann würdest Du aufhören zu suchen? Oder würdest Du da auch immer weiter suchen?
Ich kann es auch anders erklären, obwohl das oben der eleganteste Weg ist. Du hast 9 Ziffern, 9 Felder. Von den 9 Ziffern sind 4 ungerade, 5 gerade (0 ist gerade).
Damit in einer Zeile eine Primzahl herauskommen kann (die ja nicht 2 sein kann, also ungerade ist), müssen entweder alle Einträge in dieser Zeile ungerade sein oder genau einer. (zweimal ungerade + einmal gerade ist gerade, dreimal gerade sowieso). Wir müssen also die Ziffern so verteilen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte entweder alle drei oder genau eine Zahl gerade ist.
Also, nehmen wir an, eine Zeile ist voller ungerader Zahlen. Dann bleibt für die beiden anderen Zeilen nur noch eine ungerade Zahl über - dann ist aber eine Zeile voller gerader Zahlen - das ist dann keine Primzahl - geht also nicht. Wir wissen also: in jeder Zeile (und auch jeder Spalte) darf nur genau eine ungerade Zahl sein. Für die Diagonalen wissen wir das noch nicht, weil es davon ja nur 2 gibt und sie außerdem ein gemeinsames Element haben).
Angenommen, in einer Ecke sitzt eine ungerade Zahl. Dann dürfen in der zugehörigen Zeile und Spalte keine weiteren ungeraden Zahlen sitzen. Bleiben also noch vier freie Felder und drei ungerade Zahlen, die zu verteilen sind. Eine der ungerade Zahlen muss also mindestens auf eines der beiden noch freien Felder der Diagonale. JEtzt hat die Diagonale zwei ungerade Zahlen, also m uss auch die dritte ungerade sein.
(weiter gleich)
Danke für deine Antworten, hab's kapiert :-) Ich habe nur der Vollständigkeit halber die Aufgabenstellung noch abgetippt!
Hier der zweite Teil: JEtzt habe ich die Situation, dass bereits in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine ungerade Zahl steht. Ich muss aber noch eine ungerade Zahl unterbringen. Meine Anfangsannahme, dass in einer Ecke eine ungerade Zahl sitzt, war also falsch.
Da aber in jeder Zeile und jeder Spalte eine ungerade Zahl sein muss, schaue ich mir jetzt an, wie ich dies für die jeweils obere und untere Zeile und linke und rechte Spalte geht. Ecken gehen nicht, also muss ich die vier ungeraden Zahlen jeweils auf die mittleren Felder setzen. Dann bekommen aber die Diagonalen nix mehr ab - geht also auch nicht.
Also auch auf diesem Weg - tut mir leid, es gibt keine Lösung.
Schade, da ich diese Frage im Rahmen eines Seminars gestellt bekommen habe und die Antwort leider nicht weiß. Es soll also kein Rätsel für andere sein, sondern ich weiß die Antwort selbst nicht!
Ich rechne auch wie irre und komm nicht auf die Lösung. Werde die Frage später nochmal anschauen, bin gespannt.
ich hab jetz auch einige Blätter voll geschmiert:), und noch keine Lösung gefunden. Bin gespannt, ob jemand drauf kommt.
Kleine Frage! Die Summe eines Quadrates war nicht gemeint, die muss zwangsläufig 36 sein, nur Zeile, Spalte und Diagonale. Jedes für sich genommen. Aber ich habe keine Lösung gefunden.