Rätsel?
In einem kleinen monogamen Stamm am Amazonas bekommt jedes Paar so lange Kinder, bis es einen Jungen zur Welt bringt. Haben unter diesen Annahmen Männer mehr Schwestern als Frauen?
Wie kann man die Antwort dazu formulieren (wenn möglich mathematisch)?
5 Antworten
Mögliche Kinderkonstellationen (M für Junge, W für Mädchen):
M -> P(M) = 1/2
WM -> P(WM) = 1/4
WWM -> P(WWM) = 1/8
Die Wahrscheinlichkeit für n Kinder (davon 1 Junge und n-1 Mädchen) ist also 1/2^n.
In welcher der Familien hat nun ein Mädchen mehr Schwestern als ein Junge?
Bei WM hat der Junge eine Schwester und das Mädchen gar keine.
Bei WWM hat der Junge zwei Schwestern und jedes der Mädchen jeweils nur eine.
Bei n Kindern hat der eine Junge n-1 Schwestern und jedes der Mädchen n-2.
In keiner der Familien hat also ein Mädchen mehr Schwestern als ein Junge. ABER: Mädchen aus größeren Familien können durchaus mehr Schwestern haben als Jungs aus kleineren Familien. Und nachdem es mehr Mädchen gibt als Jungs, ist nicht klar, wie es insgesamt ausschaut.
Schauen wir, wie viele Kinder es insgesamt gibt bei N Elternpaaren:
N/2 Jungs aus den M Familien.
N/4 Jungs und N/4 Mädels aus den WM Familien, insgesamt 2N/4.
N/8 Jungs und 2N/8 Mädels aus den WWM Familien, insgesamt 3N/8.
N/2^k Jungs und N*(k-1)/2^k Mädels aus Familien mit k Kindern, insgesamt kN/2^k.
Summieren wir k/2^k von k=1 bis unendlich, erhalten wir 2, also 2N Kinder bei N Elternpaaren.
Von den 2N Kindern sind
N/2 Jungs aus M-Familien, also ohne Schwestern.
N/4 Jungs aus WM-Familien, also mit einer Schwester.
N/4 Mädels aus WM-Familien, also ohne Schwestern.
N/8 Jungs aus WWM-Familien, also mit zwei Schwestern.
2N/8=N/4 Mädels aus WWM-Familien, also mit einer Schwester.
N/16 Jungs aus WWWM-Familien, also mit drei Schwestern.
3N/16 Mädels aus WWWM-Familien, also mit zwei Schwestern.
...
So, jetzt hab ich keine Lust mehr. ;) Man müsste jetzt die Wahrscheinlichkeit aufstellen P(M, k) und P(W, k) dafür dass ein zufälliges Kind ein Junge mit k Schwestern ist bzw. ein Mädchen mit k Schwestern. Das wär dann
P(M, k) = [N/2^(k+1)]/2N = 1/2^(k+2)
P(W, k) = [(k+1)N/2^(k+2)]/2N = (k+1)/2^(k+3)
Und jetzt müsste man aufstellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wenn ich Mädchen und Junge jeweils zufällig wähle, der Junge mehr Schwestern hat als das Mädchen. Aber dafür bin ich gerade zu doof.
Nachtrag: Ok, vielleicht bringe ich es doch noch ein paar Schritte weiter. Nehmen wir eine Grenze n, dann nehmen wir alle Jungs, die drüber liegen und alle Mädels die drunter liegen (oder gleich sind) und summieren über alle n. Also:
Jetzt noch P(W,k) und P(M,l) von oben einsetzen und ausiksen. ;)
Nachtrag 2: Ok, laut WolframAlpha kommt da 1/9 raus, also 1/9=4/36 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem solchen Pärchen der Junge mehr Schwestern hat als das Mädchen. https://www.wolframalpha.com/input?i=sum%28+%28sum+%28k%2B1%29%2F2%5E%28k%2B3%29+k%3D0+to+n%29*%28sum+1%2F2%5E%28l%2B2%29+l%3Dn%2B1+to+infty%29%29+n%3D0+to+infty
Ein analoger Ausdruck für das Ereignis, dass umgekehrt der Junge weniger Schwestern hat als das Mädchen, gibt 13/36. https://www.wolframalpha.com/input?i=sum%28+%28sum+%28k%2B1%29%2F2%5E%28k%2B3%29+k%3Dn%2B1+to+infty%29*%28sum+1%2F2%5E%28l%2B2%29+l%3D0+to+n%29%29+n%3D0+to+infty
Und 1/18=2/36 für den Fall, dass beide gleich viele Schwestern haben. https://www.wolframalpha.com/input?i=sum%28++%28n%2B1%29%2F2%5E%28n%2B3%29++1%2F2%5E%28n%2B2%29+%29+n%3D0+to+infty
Und wo die anderen 17/36 sind -- weiß der Geier...
Ich weiß nicht wie viel das verändert, aber ich glaube du hast die Aufgabenstellung anders verstanden. Macht schon Sinn wie du es hast, aber ich glaube die eigentliche Frage war mehr Schwestern als Ehefrauen (wo durch die Monogamie Anzahl Ehefrauen ja 1 ist)🤔
Ah. Ja, so kann man das auch lesen. Dann wäre die Aufgabe viel einfacher, man müsste nur die durchschnittliche Anzahl der Schwestern berechnen...
Danke :) Aber irgendwo hab ich mich vertan, nachdem die drei Wahrscheinlichkeiten am Ende sich nicht auf 100% aufsummieren...
Also seoweit ich das verstehe nicht
Wenn ein Mann eine Frau heiratet sind sie ein Paar und bekommen Kinder. Die Chance auf einn Sohn ist 1/2. Wenn jeder heiratet hat er mindestens eine Frau, aber nicht unbedingt eine Schwester
Sogar ohne diese Annahme haben männliche Kinder immer genausoviele oder mehr Schwestern als weibliche Kinder derselben Eltern.
Schlicht, da Personen selbst nicht zu ihren Geschwistern zählen und das bei den Frauen eben ein weibliches Geschwister weniger ist, sprich eine Schwester weniger.
Wenn du 10000 Münzen hast und jede Münze nur so oft wirfst bis sie Kopf zeigt, dann hast du zwar oft Zahl geworfen, aber etwa genauso oft wirfst du beim ersten Wurf schon Kopf.
Und dabei ist egal ob man monogam ist oder nicht.
Wenn alle monogam leben, dann hat jeder Mann nur EINE Frau.
Aber jeder Mann kann durchaus mehrere Schwestern haben.
Hätte ich intuitiv auch gesagt, dass muss man jetzt aber noch begründen😅
Super Antwort, vielen Dank👍