Quadratische Funktionen lösen?

Ich habe eine Frage zu quadratischen Funktionen und zwar: wofür ist der Schritt bei dem Bild bei 5x in 2*x*5/2 aufteilen wichtig?

Answer 1

[nobytree2]

Meinst Du die quadratische Ergänzung? Die Idee ist, dass man durch eine Erweiterung ein gewisses verkürzbares Muster erreicht. Das Muster ist a² - 2ab + b². a² ist x² bzw. a = x und b² ist noch eine unbestimmte Konstante. Jedoch muss 2ab = 5x sein. Also ist

$2ab\ =\ 5x\ =\ 5\cdot1\cdot x=5\cdot\frac{2}{2}\cdot x=5\cdot2\cdot\frac{1}{2}x=2\cdot5\cdot\frac{1}{2}x=2\cdot\frac{5}{2}x$

Durch diese Umformung kann man direkt zuordnen. Wir wissen von oben, dass a = x. Und die führende 2 ist die führende 2 von 2ab. Das verbleibende, also b, ist 5/2, da

2ab = 2x * 5/2

Wir wissen also, dass b = 5/2 bzw. dass b² = (5/2)². Wir gehen in der Schablone weiter, also in a² - 2ab + b². Das wäre

$x^2-2\cdot x\cdot\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2$ Das haben wir aber nicht, sondern wir haben

$x^2-5x+2$

Die Differenz zwischen 2 und (5/2)² kann wie folgt überführt werden:

$x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+2$

Dieses plus (5/2)² - (5/2)² kann man unproblematisch ergänzen, weil es in Summe null ist. Aber man hat im vorderen Teil die Schablone a² - 2ab + b²

$x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+2=\left(x^2-5x-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)-\left(\frac{5}{2}\right)^2+2$ $=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+2$

Das Klammernsetzen ist unproblematisch. Das in der Klammer kann nun wie angegeben verkürzt werden, weil oben die Schablone getroffen ist und weiterhin folgendes gilt: a² - 2ab + b² = (a - b)²

Und den zweiten Teil können wir auch lösen

$-\left(\frac{5}{2}\right)^2+2=-\frac{25}{4}+\frac{8}{4}=-\frac{17}{4}=-4,25$ führt insgesamt zu

$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{17}{4}=0\ \to\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{17}{4}$ $x=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$