pq formel?
wieso macht man +/- bei -p/2 +/- die Wurzel aus..
3 Antworten
(-2)*(-2)=4 aber auch 2*2=4.
Also kann umgekehrt die Wurzel aus 4 sowohl +2 als auch -2 sein.
@Lutz28213 Das ist weder eine schlichte Behauptung noch eine Weisheit, sondern ganz einfach Definition. Natürlich sind Definitionen keine beweisbaren Sätze, und prinzipiell ist der Mathematiker frei beim Definieren. Jedoch gibt es dermaßen grundlegende Definitionen - wie der der Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl -, bei denen jene Freiheit aufgrund der Verwendung in sämtlicher wissenschaftlicher Literatur faktisch nicht besteht. Als eine leicht abrufbare Quelle unter beliebig vielen anderen verweise ich auf https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel .
OK - ich mus zugeben, dass mir diese mathematische Festlegung nicht bewusst war. Das liegt aber auch daran, dass ich Ingenieur und kein Mathematiker bin - und dass wir in der Technik durchaus immer mit BEIDEN Lösungen arbeiten. Es gibt nämlich durchaus technische Anwendungsfälle, bei denen BEIDE Lösungen eine technisch sinnvolles Ergebnis darstellen. Allerdings nicht immer - wenn z.B. negative Zeiten als eine der zwei Lösungen entstehen, sagt man: Lösung fällt raus, denn sie macht in der Realität keinen Sinn.
Danke für die klärende Antwort. Ich glaube, niemand wird bestreiten wollen, dass beide Lösungen der Gleichung x² = a (wobei a>0) je nach Zusammenhang wichtig sein können. Dass nur die positive Lösung interessiert, passiert z.B. schon immer dann, wenn es um Längenbestimmungen geht, wie bereits in der Schulmathematik beim Satz des Pythagoras. Die Bedeutung von √a eindeutig festzulegen (und von dem Begriff "Lösung der Gleichung x² = a" zu unterscheiden) ist für den Gebrauch innerhalb von mathematischen Theorien aber absolut notwendig, und gerade diese Stelle erweist sich leider als eine häufige Fehlerquelle. Daher der oben erhobene Einspruch, der zum Guten der hier fragenden Mathematik-Studenten und keinesfalls als Lust am Widersprechen oder als Rechthaberei intendiert war.
Ja - ich stimme Dir zu. Deine Aussage wird ja auch durch die sog. pq-Formel gestützt, bei der vor der Wurzel explizit (+/-) steht, WEIL eben das Ergebnis des Wurzelziehens als positiv gewertet wird. Beim täglichen Gebrauch vergisst man das aber (wie bei mir) und tut eben so, als ob......
Vergleich: Etwas ähnliches gilt auch für das Ohmsche Gesetz. Beim Berechnen von Schaltungen tut man einfach so, als ob ein Strom I durch einen Widerstand R eine Spannung U=I*R "erzeugen" würde. Und das funktioniert ja auch fehlerfrei - bloß ist das physikalisch falsch. Ein Strom kann nie eine Spannung erzeugen - jeder Strom braucht eine treibende Spannung (bzw. das zugehörige die Elektronen beschleunigende E-Feld im Leiter) .
Nein, √(-2)² = │-2│= 2
Im Bereich der reellen Zahlen gilt, dass die Quadratwurzel immer nur ein Ergebnis liefert und das ist niemals negativ.
Das +- entsteht durch die Lösung der quadratischen Gleichung.
Hallo,
quadratische Gleichungen kann man ja auch mit der quadratischen Ergänzung lösen.
Ein Beispiel:
x²+6x-7=0 ; [p=6; q=-7]
x²+6x=7 ; [x²+px=-q]
x²+2•3•x+3²=7+3² ; [x²+2•½p +(½p)²=-q+(½p)²]
(x+3)²=16 ; [(x+½p)²=(½p)²-q]
Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
x+3=+4 oder x+3=-4
Kurz: x+3=±4 ; [ x+½p=±√((½p)²-q)]
x=-3+4=1 oder x=-3-4=-7
[ x= -½p ± √((½p)²-q) ]
In eckigen Klammern die gleiche Rechnung mit "Buchstaben".
Die pq-Formel "entsteht", wenn man die allgemeine quadratische Gleichung x²+px+q=0 nach x auflöst. Dabei muss man "irgendwann" die Wurzel ziehen, was dazu führt, dass sich eine positive und eine negative Lösung ergeben:
x²+px+q=0 |quadr. ergänzen
x²+px+(p/2)²-(p/2)²+q=0 |binom. Formel anwenden
(x+(p/2)²)²-(p/2)²+q=0 |+(p/2)²-q
(x+(p/2)²)²=(p/2)²-q |Wurzel ziehen
x+(p/2)² = +/- Wurzel((p/2)²-q) |-(p/2)²
x=-(p/2)² +/- Wurzel((p/2)²-q)
Nein, die Wurzel aus 4 ist die positive der beiden Zahlen, deren Quadrat 4 ist, also 2. Es ist √4 = 2, nichts anderes.
Aber - dies an die Fragestellerin: Das stimmt natürlich: Wenn man nur weiß, dass x² = 4 ist, so folgt daraus
x = √4 (also x=2)
oder
x = -√4 (also x=-2),
(denn auch -2 ergibt beim Quadrieren 4, nur ist -2 nicht positiv und daher nicht die Wurzel aus 4).
Diese oder-Aussage fassen viele zusammen in der Schreibweise : x = +/- √4.
Man muss dabei aber auch wissen, dass es mehr als 2 Lösungen einer quadratischen Gleichung nicht geben kann.
Natürlich kannst du statt der 4 irgendeine nichtnegative Zahl verwenden, nur ist dann der Wurzelwert meist nicht so geläufig wie für die 4 ;-)