physik, atom, radioaktiv?
Und, was willst du nun fragen, wissen.
Einfach ein HA Blatt scannen und Posten...tztztz
ja... wie alt ist die Probe? wie rechne ich es?
2 Antworten
Hallo Gabriella2222,
vorab: Die Behauptung, dass ¹⁴C in der Atmosphäre aus ¹²C gebildet wird, ist meines Wissens falsch, denn Kohlenstoff kommt in der Atmosphäre nur in geringen Mengen (in CO₂) vor. Viel häufiger ist ¹⁴N, das durch Wechselwirkung mit der Kosmischen Strahlung in ¹⁴C umgewandelt wird und wieder zurück zerfällt.
In der Atmosphäre ist die Menge von ¹⁴C konstant. Versuchen Sie über die Differentialgleichung ... dN(t)⁄dt = −λt zu begründen wieso.
Diese Differentialgleichung nur gültig, wenn bzw. wo das ¹⁴C nicht nachproduziert wird.
Die Mathematik des radioaktiven ZerfallsDie Aktitität A eines bestimmten radioaktiven Nuklids (= Atomkernsorte) ist proportional zur Menge (= Anzahl der Atomkerne) N:
(1.1) A = λN
Dabei ist λ die für das Nuklid spezifische Zerfallskonstante. "Zerfall" bedeutet Umwandlung in ein anderes Nuklid, ein sog. Tochternuklid, wodurch sich die Menge des Mutternuklids verringert, falls bzw. wo es nicht durch andere Prozesse nachgebildet wird.
Wird das Nuklid mit der Produktionsrate P nachgebildet, wird die in der Aufgabe erwähnte Differentialgleichung zu
(1.2) dN⁄dt = P − A = P − λN.
Wenn P konstant ist, nimmt N den Gleichgewichtswert N₀ = P⁄λ an, denn für N < N₀ ist dN⁄dt > 0, für N > N₀ ist dN⁄dt < 0.
In einer Situation, in der P auf 0 fällt, z.B., wenn ein Organismus stirbt und unter Sediment begraben wird, ist nur noch
(1.3) dN⁄dt = −λN.
N(t), also die Menge des Nuklids als Funktion der Zeit, muss also eine Funktion sein, die zu ihrer eigenen Ableitung proportional ist.
Solche Funktionen gibt es natürlich, nämlich die Exponentialfunktionen, also Funktionen der Form
(2.1) y(x) = y₀∙bx , b > 0
wobei b die Basis und x der Exponent heißt. Im Unterschied zu einer Potenzfunktion mit festem Exponenten und variabler Basis ist –bzw. enthält – der Exponent die Variable. Der Vorfaktor y₀ ändert nichts am grundsätzlichen Verhalten der Funktion.
Potenzieren ist eigentlich wiederholtes Multiplizieren, deshalb ist zunächst unklar, was ein nichtpositives, gebrochenes oder gar irrationales x zu bedeuten hat. Allerdings lässt sich mit Hilfe der Potenzgesetze zumindest aus rationalen x Sinn machen.
Exponentialfunktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich bei gleicher additiver Änderung Δx der Variablen x um denselben Faktor ändern:
(2.2) bx + Δx = bx ∙bΔx
Natürlich bedeutet das umgekehrt auch
(2.3) bx − Δx = bx₂ /bΔx,
und da b¹ = b ist, ist b⁰ ≡ 1 und
(2.4) b−x = (1⁄b)x.
Außerdem ist
(2.5) ba∙x = (bx)a,
weshalb auch gebrochene Exponenten einen Sinn haben:
(2.6) bx⁄a = a√(bx) = (a√(b))x
Da die rationalen Zahlen schon dicht liegen, brauchen wir aus praktischer Sicht eigentlich gar nicht unbedingt zu definieren, was ein irrationales x bedeuten soll. Eigentlich können wir hier sogar schon ableiten, aber wir wissen bisher nur, dass bx und ihre eigene Ableitung proportional sind.
Es gibt aber eine Exponentialfunktion, bei der der Proportionalitätsfaktor gleich 1 ist, nämlich mit der EULERschen Zahl e ≈ 2,71828 als Basis, die Natürliche Exponentialfunktion.
Also: Die Funktion ex ist ihre eigene Ableitung und lässt sich auch als Potenzreihe
(2.7) ex = exp(x) = ∑k=0∞ (1⁄n!)∙xⁿ = 1 + x + ½∙x² + ⅙∙x³ + …
schreiben; jedes Glied (Summand) dieser Reihe ist die Stammfunktion des vorigen und die Ableitung des folgenden Gliedes. Damit ergibt auch ein irrationales x einen Sinn.
Steht im Exponenten noch ein Vorfaktor α, so ist die Ableitung
(2.8) (d/dt) ex = α∙ex.
Exponentialfunktionen sind umkehrbar; die Umkehrung von bx heißt Logarithmus zur Basis b:
(3.1) x = logb(Y) für Y > 0
Der Logarithmus zur Basis e heißt Natürlicher Logarithmus und wird mit ln(…) bezeichnet. Logarithmen einer Zahl υ zu unterschiedlichen Basen sind zueinander proportional:
(3.2) logb(υ) = ln(υ)/ln(b)
1/ln(b) ist der Proportionalitätsfaktor für ein gegebenes b, deshalb braucht man die ganzen "unnatürlichen" Logarithmen eigentlich gar nicht. Mehr noch: Jede Exponentialfunktion lässt sich als Natürliche Exponentialfunktion ausdrücken:
(4.1) bx ≡ ex∙ln(b)
Damit und mit (2.8) ist auch klar, was die Ableitung von bx ist:
(4.2) (d/dt) bx = ln(b)∙bx .
Die Physik des radioaktiven ZerfallsLösungen der Differentialgleichung (1.3) haben die Form
(5) N(t) = N₀∙e−λ∙t = N₀∙e−ln(2)∙t⁄Tₕ
mit der Halbwertszeit
(6) Tₕ = ln(2)⁄λ,
wobei wir N(t) und N₀ in (5) ohne Weiteres durch A(t) und A₀ ersetzen können, da A und N ja proportional sind. Natürlich können wir (5) nach t auflösen:
(7) t = Tₕ∙ln(N₀⁄N)/ln(2).
Auch hier können wir für jedes 'N' ein 'A' einsetzen.
In einer Probe von 200g Kohlenstoff wird eine β-Zerfallsrate von 400 Zerfällen pro Minute gemessen. Bei Kohlenstoff in der atmosphärischen Umgebung werden 15 Zerfälle pro Minute und Gramm Kohlenstoff gemessen.
Der letzte Satz bedeutet, dass die Probe im neuen Zustand 3000 Zerfälle pro Minute gehabt haben muss (ich habe einfach mit 200g multipliziert). Damit ist A₀⁄A(t) = 3000⁄400 = 15⁄2 = 7,5. Das in (7) eingesetzt ergibt etwas über 16650 Jahre.
Wie viele Zerfälle würden denn in der Probe erwartet, wenn sie aus der Gegenwart stammen würde? Setze dies als R0 und löse nach n auf.