Periodische ( unendliche ) Dezimalzahl als Bruch schreiben?

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6 Antworten

Hallo,

Du multiplizierst den Bruch mit einer Zehnerpotenz, also 10; 100; 1000 usw., die so groß ist, daß alle Ziffern, die vor der Periode stehen, plus der ersten Ziffer der Periode vor dem Komma landen. So wird aus 0,1666..., wenn Du es mal hundert nimmst, 16,666...

Wenn Du davon nun 10*1,666. abziehst, bekommst Du 15 heraus.

15 ist also das Ergebnis von 100*0,16666.-10*0,1666...), ist also gleich 90*0,16666... 

Nun kannst Du nach dem periodischen Bruch auflösen. Aus:

90*0,1666..=15 folgt:

0,1666...=15/90=1/6

So kannst Du jeden periodischen Bruch verwandeln:

Bruch mit 10^n multiplizieren, so daß die erste Ziffer der Periode vor dem Komma landet, davon den Bruch mal 10^(n-1) abziehen.

Die Zahl, die dann herauskommt, ist der Zähler des echten Bruches, während 
10^n-10^(n-1) den Nenner darstellt.

Danach nur noch so weit wie möglich kürzen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von SirMahoney
05.03.2016, 12:50

Super Antwort, im Fall von 0,166... kann man sich aber vielleicht merken, dass der zugehörige Bruch 1/6 ist - Das ist nämlich genau die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfel eine 6 zu würfel.

Viele Grüße

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Bei Perioden, die gleich hinter dem Komma anfangen, schreibst du einfach Neuntel für die Anzahl Ziffern unter dem Periodenstrich in den Nenner:

0,p1 = 1/9                   p deutet an, wo der Periodenstrich beginnt
0,p2 = 2/9
0,p3 = 3/9 = 1/3
0,p12 = 12/99 = 4/33

0,0p1  = 1/90               9 nur unter Periodenziffern, vorher 0
0,00p1 = 1/900

Bei einer Ziffernmixtur muss man rechnen:
0,1p6 = 1/10 + 6/90      weil 6 ja erst in der 2. Position steht
                                    0,1 davor = 1/10

Dass dies auch 1/6 ist, hilft einem nur, wenn man es vorher schon gewusst hat. Mit dem obigen Verfahren bekommst du aber alle Perioden geknackt.

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Kommentar von Schachpapa
05.03.2016, 12:06

Bei einer Ziffernmixtur muss man rechnen:
0,1p6 = 1/10 + 6/90      weil 6 ja erst in der 2. Position steht
                                    0,1 davor = 1/10

Dass dies auch 1/6 ist, hilft einem nur, wenn man es vorher schon gewusst hat.


Oder man rechnet ehrgeizig weiter:
1/10 + 6/90 = 9/90 + 6/90 = 15/90 = (gekürzt) 1/6

2

Sei x = 0,1p6

=> 10x = 1,p6

=> 10x-1 = 0,p6

=> 10x -1 = 6/9=2/3

=> 10x = 1 + 2/3 = 5/3

=> x = 1/10 * 5/3 = 1/6

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16/99 ist das.

Ach ne, doch nicht. Es ist 0,1 + 6/90

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0,16666666... = 0,1 + 0,0666 = 1/10 + 2/30 = 5/30 = 1/6

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Du möchtest: 0,1666666666666666666666... als Bruch schreiben. 

Du überlegst dir, welche dir bekannten Brüche da am Nächsten sein könnten: 

Du kennst zum Beispiel:

1/2 = 0,5 => zu groß.

1/10 = 0,1 => zu klein.

1/5 = 0,2 => zu groß.

1/8 = 0,125 => etwas zu klein

1/6 = hmm, was war das nochmal?

Es gilt ja: 

1/6 = (1/2)*(1/3) = (1/2)*0,333333333... ) = 0,166666666...

Also ist der gesuchte Bruch 1/6.

Du hast also durch nachdenken, welche Brüche du schon kennst herausgefunden, welches der gesuchte Bruch war.

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