Partialbruchzerlegung doppelte Nullstelle Aufgabe?

Hey, bin gerade dabei eine Aufgabe zu rechnen aber komme nicht weiter.(siehe Bild). Ich versuche die Aufgabe bewusst ohne kürzen zu lösen. Wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet wo mein Denkfehler liegt. Danke und Lg

Bekomme für A2 irgendwie 0 als Lösung raus?!

Answer 1

[mihisu]

Die Gleichung -2A_1 + A_2 = -2 von deinem Gleichungssystem stimmt nicht.

Wenn du (x + 1)/(x² - 2x + 1) mit (x - 1)*(x-1)² multiplizierst, kann man mit (x-1)² kürzen und es bleibt (x + 1) * (x - 1) = x² - 1. [Bzw. kann man es auch so sehen, dass x² - 1 im Zähler steht, wenn man (x+1)/(x² - 2x + 1) mit (x - 1) erweitert.]

Demnach hast du dann also:

$x^2-1=A_1x^2-2xA_1+A_1+A_2x-A_2$

Also:

$A_1=1$ $-2A_1+A_2=0$ $A_1-A_2=-1$

Das liefert dann A_1 = 1 und A_2 = 2.

============

Es wäre übrigens meiner Ansicht nach geschickter (x - 1)² statt (x - 1) * (x - 1)² als gemeinsamen Nenner zu verwenden ...

$\frac{x+1}{x^2-2x+1}=\frac{x+1}{\left(x-1\right)^2}$

Ansatz:

$\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{\left(x-1\right)^2}=\frac{A_1\cdot\left(x-1\right)+A_2}{\left(x-1\right)^2}=\frac{A_1x-A_1+A_2}{\left(x-1\right)^2}$

Ein Vergleich liefert dann:

$A_1=1$ $-A_1+A_2=1$

Damit erhält man dann:

$A_1=1,\ \ A_2=2$

Comments

[alltagsguru]

Danke. Aber Wie kommst du bei dem Gleichungssystem auf. 1, 0 und - 1 auf der rechten Seite?

[mihisu]

@alltagsguru

Wegen ...

x² - 1 = 1x² + 0x + (-1)

Vor dem x² steht 1. Vor dem x steht 0. Und hinten dann noch -1 als Absolutglied.

[alltagsguru]

@mihisu

Alles klar. Ich hatte immer gedacht, das orientiert sich an dem Zähler von der Anfangsgleichung (also x+1) weil dann wäre es ja 0, 1, 1. Wieso ist es in diesem Fall anders?

[mihisu]

@alltagsguru

Das ist ja auch normalerweise der Fall. Allerdings hast du hier bei deinem Ansatz nicht auf den Nenner x² - 2x + 1 bzw. (x - 1)² des Anfangsterms erweitert, sondern auf (x - 1) * (x - 1)². Demnach musst du für einen Vergleich dann auch bei deinem Anfangsterm noch mit (x - 1) erweitern, um dort auch den Nenner (x - 1) * (x - 1)² zu erhalten.

Das ist sonst so als würdest du aus 1/4 = 2/8 folgern wollen, dass 1 = 2 ist. Das geht so nicht. Man kann nur dann die Zähler vergleichen, wenn die Nenner gleich sind.

[alltagsguru]

@mihisu

Dankeschön für die Hilfe! :) nen schönen Abend noch

Answer 2

[Rhenane]

Der Hauptnenner ist nicht (x-1) * (x-1)², sondern "nur" (x-1)².

Dann ergibt das für den Zähler: A1(x-1)+A2=A1x-A1+A2

Koeffizientenvergleich:

x+1 = A1x-A1+A2 => A1=1 und -A1+A2=1 => A1=1 und A2=2

also: (x+1)/(x²-2x+1)=1/(x-1) + 2/(x-1)²

Answer 3

[bilbein]

Du mußt dein Gleichungssystem anders aufstellen. Schau mal bei Wikipedia "Partialbruchzerlegung", da ist unter "doppelte Polstellen" nach der Division ein ganz ähnliches Beispiel ausgeführt.