O-Kalkül?

Berechne n0 und c aus der formalen Definition des jeweiligen Landau-Symbols.

2 Antworten

Rammstein53

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

26.04.2022, 16:14

f € O(g) heisst:

f(n) <= c * g(n) für grosse n € N, und c konst.

Diese Aussage stimmt nur falls f(x) = log(n^8), nicht (log(n))^8

Man muss also zeigen, dass

log(n^8) <= n^(2/3)

bzw.

8*log(n) <= n^(2/3)

für alle n > n0 gilt.

Rein graphisch ergibt sich das für n0 ~ 50 (mit log10).

Das theoretisch zu beweisen, funktioniert entweder über die Lambert-Funktion oder mit einem Trick (kenne ich leider nicht).

DerRoll

26.04.2022, 16:34

Man benötigt keinen Trick zur Lösung. Sowohl der log wie n^(2/3) sind monoton steigend, d.h. sie können höchstens einen Schnittpunkt haben. Es reicht also ein n0 jenseits des Schnittpunkts anzugeben, dann ist die <= Bedingung für alle n => n0 erfüllt.

rosesarerosie4

Beitragsersteller

26.04.2022, 17:03

in der Aufgabe steht (log(n))^8 :(((

Rammstein53

26.04.2022, 17:07

@rosesarerosie4

Mit (log(n))^8 stimmt die Behauptung nicht. Zum graphischen Beweis einfach die beiden Funktionen (log(x))^8 und x^(2/3) plotten.

DerRoll

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

26.04.2022, 15:03

Ja und nun? Was bedeutet diese Element-Beziehung denn formal? Schreibe das doch erst mal hin.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

rosesarerosie4

Beitragsersteller

26.04.2022, 15:15

c* log^8(n) ≤ n^2/3 bedeutet das

log(n) ∈ O(n) aus der Vorlesung

log(n) ^8 ∈ O(n^8)

Wie mache ich weiter?

DerRoll

26.04.2022, 16:32

@rosesarerosie4

Siehe die Antwort von @Rammstein. Schau dir die gegebene Funktion noch mal genau an und überlege den Unterschied zwischen log^8(x) und log(x^8).

DerRoll

26.04.2022, 16:35

@rosesarerosie4

c*log(n^8) <= n^(2/3) für alle n => n0. Bitte immer die komplette Definition angeben.

rosesarerosie4

Beitragsersteller

26.04.2022, 17:03

@DerRoll

ist leider (log(x))^8

DerRoll

26.04.2022, 17:09

@rosesarerosie4

Das kann nicht sein. Schau dir die Funktion

f(x) = (log(x))^8 - x^(2/3)

mal hier

https://rechneronline.de/funktionsgraphen/

an.

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        System.out.println("ERROR");
        } else {
            if(a > b) {
            n0 = b;
            }
            else if(a > c && c < n0) {
            n0 = c;
            }
            else if(a > d && d < n0) {
            n0 = d;
            }
            else if(a > e && e < n0) {
            n0 = e;
            }
            else {
            n0 = a;
            }
            System.out.println(n0);
        }
    }
}
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}

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