Zerfallsfunktion?
Ich habe für eine Mathe-Aufgabe gegeben: Ein radioaktives Isotop mit der Zerfallsfunktion
N(t)= N0*0,75^{t/4d}.
Allerdings verstehe ich nicht ganz, was mit "4d" gemeint ist, und es steht auch nirgendwo angeschrieben.
Könnt ihr mir da vielleicht helfen und kann man die Halbwertszeit notfalls auch anders berechnen?
3 Antworten
Das „d“ steht, wie andere schon geschrieben haben, für „Tage“, lat. „dies“ (sprich: „di-es“), engl. „days“. Eine Zeit musste es ja in jedem Fall sein, weil t die Zeit ist und der Exponent dimensionslos sein muss.
Um jetzt die Halbwertszeit auszurechnen, muss man das Ganze nun in einen Logarithmus zur Basis 0,5 oder, mit entsprechend negativem Exponenten, zur Basis 2 umwandeln.
Nach den Logarithmengesetzen ist
log.b(y) = log.a(y)/log.a(b) = ln(y)/ln(b),
wir brauchen also
log.[0,75](0,5) = ln(0,5)/ln(0,75)
respektive
log.[0,5](0,75) = 1/(log.[0,75](0,5)) = ln(0,75)/ln(0,5)
(das nämlich kann man auch mit'm Taschenrechner ausrechnen).
Aus
N(t) = N0·0,75^{t/4d}
folgt
log.[0,75](N(t)/N0) = t/4d,
und damit ist
log.[0,5](N(t)/N0) = log.[0,75](N(t)/N0)·log.[0,5](0,75)
= (t/4d)·log.[0,5](0,75)
= (t/4d)·ln(0,75)/ln(0,5),
und damit ist
N(t)/N0 = 0,5^{(t/4d)·ln(0,75)/ln(0,5)},
d.h.
4d·ln(0,5)/ln(0,75) = 4d·ln(2)/ln(4/3)
sollte die Halbwertszeit sein. Ich nehme an, dass dies die Aufgabe ist. Du hast es nicht explizit dazu gesagt.
Du kannst auch eine andere Zeiteinheit, z.B. Sekunden einsetzen, dann steht aber 4d für 4×86400s.
4d = 4 Tage
Sekunde (s)
Minute (min)
Stunde (h)
Tag (d)
Jahr (a)
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste\_physikalischer\_Gr%C3%B6%C3%9Fen
Da die Funktion "N(t)" heißt, ist in diesem Fall t die einzige Variable, die sich ändern darf. Deshalb gehe ich davon aus, dass d eine frei gewählte Konstante ist. Anders kann es eigentlich nicht sein.
Deshalb zieh das bzw. die 4d einfach mit und behandle sie wie eine konstante Zahl. Von Isotop zu Isotop unterscheiden sich diese Zahlen höchstwahrscheinlich, weshalb man hier eine allgemeine Funktion aufstellen wollte, an der man dann verschiedene Isotope untersuchen kann, die dann unterschiedliche d's haben.
Aber es heißt ebenfalls: t...Zeit in Tagen, warum rechnet man die Zeit in Tagen durch vier Tage?