Muss man dem Jobcenter bescheid geben, wenn man eine Abmahnung von seinem Vorgesetzten von seiner Arbeit bekommt?

Nein. Das ist ein arbeitsrechtlicher Vorgang, mit dem das Jobcenter nichts zu tun hat.

Im Falle einer arbeitgeberseitigen Kündigung kann es jedoch relevant sein/werden und zusätzlich dann, wenn der Arbeitgeber Fördermittel für Dich erhält.

Ansonsten jedoch nicht.

das hat doch damit gar nix zu tun. da musst du dich erst melden, wenn du keinen job mehr hast.