Monotonieverhalten von ln?
Hey,
Ich wollte fragen, ob ich hier etwas falsch gemacht habe:
f(x)= x-ln(x^2 -25)
gesucht: für welchen Intervall von x ist f(x) monoton fallend?
f'(x) hab ich bestimmt und es ist: ((x^2 -2x-25)/(x^2 -25)), und ich hab dann die Nullstellen von den Zähler bestimmt, dass ist (2+(104)^0.5)/2 und (2-(104)^0.5)/2, und im Nenner sehen wir dass x nicht gleich -5 oder 5 sein darf.
Die Definitionsmenge von f ist ja (-unendlich, -5) u (5, +unendlich)
daher sollte die Funktion nur dann monoton fallend sein, wenn x Element von (5, (2+(104)^0.5)/2 oder?
Danke im Voraus!
1 Antwort
Die Nullstellen der Ableitung, d. h. die möglichen Extremstellen, solltest Du schon noch ausrechnen und nicht als "eingesetzte abc-Formel" stehen lassen!
Dies wären dann x1=6,1 und x2=-4,1. x2 fällt weg, da außerhalb des Definitionsbereichs.
Aber alleine aus dieser möglichen Extremstelle bei x1 kannst Du nicht schließen, dass von 5 (ausschließlich) bis zu dieser Stelle x1 die Funktion fällt und ansonsten steigt!
Im Grunde hast Du jetzt 3 Intervalle zu prüfen: (-unendlich,-5); (-5,x1) und (x1,+unendlich); bzw. Du könntest prüfen, ob x1 ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, denn dann ist auch klar, wie der Graph vorher und hinterher verläuft; im ersten Intervall gehts nur in eine Richtung.
aber das ist ja verwirrend, denn in -unendlich, -5 ist die Funktion wachsend, zwischen x1 und + unendlich auch wachsend, aber zwischen -5, x1 fallend.
aber ist der Intervall -5 bis 5 nicht eben nicht definiert?
f'(2) ist uninteressant, da die Funktion von -5 bis +5 nicht definiert ist!
Bei x1 ist (möglicherweise) eine Extremstelle; hast Du ja durch f'(x)=0 selbst errechnet. D. h. vor und hinter x1 ist im Falle einer Extremstelle logischerweise die Monotonie verschieden. d. h. Du setzt irgendetwas innerhalb der angegebenen Intervalle in f' ein und prüfst ob das kleiner oder größer Null ist - das gilt dann natürlich für das komplette jeweilige Intervall.
Im ersten Intervall gibt es keine Extremstelle, also auch keine "Richtungsänderung".
Du wirst feststellen, dass die Funktion im ersten Intervall streng monoton steigend ist, von 5 bis x1 streng monoton fallend und von x1 bis unendlich streng monoton steigend. Und damit weißt Du auch, dass bei x1 ein Tiefpunkt sein muss.
uhhh f'(2) > 0, also ist die Funktion nicht mon. fallend?